Это означает, что Дfn не может сходиться к Дf0 , то есть отображение Д терпит разрыв в f0.
Поскольку оператор не является непрерывным, то, следовательно, он и не является ограниченным.
3.2) Теперь покажем, как из неограниченности оператора следует его разрывность.
Пусть оператор Д действует из C[0, 1] в C[0, 1], оператор Дf(x) = f/(x);
Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную.
В пространстве C[0, 1] норма ||f|| =
Возьмем из C[0, 1] последовательность fn(t) = tn. Она ограничена в C[0, 1]: ||fn(t)|| =
Рассмотрим Д fn(t): Д fn(t) = f/n(t) = n tn-1;
||f/n(t)|| =
В результате получили, что оператор Д переводит ограниченное множество в неограниченное, значит, по определению этот оператор не является ограниченным, а по теореме 3 не является непрерывным.
Вывод:
Оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[a,b], заданный следующим образом: Дf(x)=f/(x), где функция f(x)
1. линейный;
2. не ограниченный;
3. не непрерывный.
§7. Оператор сдвига
Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C[ ], заданный следующим образом:
Af(x) = f(x+a).
Функции f(x), f(x+a)
Покажем линейность оператора А, по определению 1 должны выполняться следующие аксиомы :
1) Аксиома аддитивности: А(f+g) = А(f) + А(g).
А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).
По определению суммы функции, аксиома верна.
2) Аксиома однородности: А(kf) = kА(f).
A(k*f(x)) = k*f(x+a) = k*A(f(x)).
Аксиомы 1 и 2 верны, следовательно можно сделать вывод, что А – линейный оператор.
3) Проверим является ли оператор A непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:
p (fn(x), f0(x))
Оператор А действует в пространстве C[ ], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:
p (fn(x), f0(x)) =
Решение:
p (A fn(x), Af0(x)) =
Таким образом p (A fn(x), Af0(x))
4) Непрерывный оператор является ограниченным, а у ограниченного оператора есть норма, найдем норму оператора А (по определению 5):
||A|| =
Поскольку ||f|| =
Норма А: ||A|| = 1.
5) Обратимость оператора А: Af(x) = f(x+a)
Такой оператор A сдвигает функцию на const a; обратный к A оператор будет сдвигать функцию на const (-a):
A-1f(x) = f(x-a).
6) Спектр оператора А.
Рассмотрим пространство непрерывных функций – С[0, + ), имеющих конечный предел на
Af(x) = f(x+a), a
Вопрос о спектре оператора А касается разрешимости в пространствах С[0,b) и С[а,+ ).
Введем функцию V(x) =
Следовательно рассмотренная функция входит в пространство С[0,+ ).
Теперь рассмотрим V(x+a) =
Для
Покажем, что остальные точки окружности
Рассмотрим U(x) =
U(x+a) =
U(x) =
Если точки лежат вне единичного круга, то они регулярные для оператора А в 2-х пространствах.
Покажем, что в пространстве С[0, + ) точки