Некоторые линейные операторы (стр. 8 из 9)

Это означает, что Дf_n не может сходиться к Дf₀ , то есть отображение Д терпит разрыв в f₀.

Поскольку оператор не является непрерывным, то, следовательно, он и не является ограниченным.

3.2) Теперь покажем, как из неограниченности оператора следует его разрывность.

Пусть оператор Д действует из C_{[0, 1]} в C_{[0, 1]}, оператор Дf(x) = f^/(x);

Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную.

В пространстве C_{[0, 1]} норма ||f|| =

|f(t)|.

Возьмем из C_{[0, 1]} последовательность f_n(t) = tⁿ. Она ограничена в C_{[0, 1]}: ||f_n(t)|| =

|tⁿ| = 1.

Рассмотрим Д f_n(t): Д f_n(t) = f^/_n(t) = n t^n-1;

||f^/_n(t)|| =

|n t^n-1| = n.

В результате получили, что оператор Д переводит ограниченное множество в неограниченное, значит, по определению этот оператор не является ограниченным, а по теореме 3 не является непрерывным.

Вывод:

Оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D_[a,b], заданный следующим образом: Дf(x)=f^/(x), где функция f(x)

D_{[a, b]}, f^/(x) C_{[a, b]}:

1. линейный;

2. не ограниченный;

3. не непрерывный.

§7. Оператор сдвига

Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C_[

_], заданный следующим образом:

Af(x) = f(x+a).

Функции f(x), f(x+a)

C_[

_], a R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция.

Покажем линейность оператора А, по определению 1 должны выполняться следующие аксиомы :

1) Аксиома аддитивности: А(f+g) = А(f) + А(g).

А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).

По определению суммы функции, аксиома верна.

2) Аксиома однородности: А(kf) = kА(f).

A(k*f(x)) = k*f(x+a) = k*A(f(x)).

Аксиомы 1 и 2 верны, следовательно можно сделать вывод, что А – линейный оператор.

3) Проверим является ли оператор A непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (f_n(x), f₀(x))

0 p (A f_n(x), Af₀(x)) 0.

Оператор А действует в пространстве C_[

_], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (f_n(x), f₀(x)) =

| f_n(x) - f₀(x)|.

Решение:

p (A f_n(x), Af₀(x)) =

|Af_n(x) - Af₀(x)| = |f_n(x+a) - f₀(x+a)| = = |f_n(t) - f₀(t)| = p (f_n(t), f₀(t)) 0.

Таким образом p (A f_n(x), Af₀(x))

0. Следовательно оператор А непрерывен.

4) Непрерывный оператор является ограниченным, а у ограниченного оператора есть норма, найдем норму оператора А (по определению 5):

||A|| =

|Af| = |f(x+a)| 1.

Поскольку ||f|| =

|f(x)| 1.

Норма А: ||A|| = 1.

5) Обратимость оператора А: Af(x) = f(x+a)

Такой оператор A сдвигает функцию на const a; обратный к A оператор будет сдвигать функцию на const (-a):

A^-1f(x) = f(x-a).

6) Спектр оператора А.

Рассмотрим пространство непрерывных функций – С_{[0, +}

), имеющих конечный предел на

:

Af(x) = f(x+a), a

0.

Вопрос о спектре оператора А касается разрешимости в пространствах С_[0,b) и С_[а,+

).

Введем функцию V(x) =

при | |<1, 0, найдем ее предел:

= 0

Следовательно рассмотренная функция входит в пространство С_[0,+

).

Теперь рассмотрим V(x+a) =

= * = *V(x).

Для

=0 подберем непрерывную функцию = 0 при x а и не равную 0 при x [0, a]. Для этой функции A(V(x)) = 0 то есть она является собственным вектором для числа 0; функция V(x) = с, так же удовлетворяет разностному отношению V(x) - V(x+a) = 0. Значит =1 точечному спектру и в том и в другом пространстве. И все точки внутри единичного круга точечному спектру.

Покажем, что остальные точки окружности

точечному спектру оператора А в пространстве С[0, +

).

Рассмотрим U(x) =

и число = (| | = 1);

U(x+a) =

= = U(x);

U(x) =

= Cos( ) + iSin( ), принадлежит пространству С_[0,b) так как мнимая и действительная части – функции ограниченные, но не принадлежат пространству С_[a, +

) так как не имеют конечного предела на .

Если точки лежат вне единичного круга, то они регулярные для оператора А в 2-х пространствах.

Покажем, что в пространстве С_{[0, +}

) точки

= , 2 n не будут собственными числами.