Некоторые линейные операторы (стр. 9 из 9)

Докажем это от противного: пусть найдется

= , 2 n – собственное число, тогда найдется функция f(x) С[0, +

), что

f(x+a) =

f(x).

Применим оператор А n раз: f(x+n*a) =

ⁿf(x), тогда

f(x+na) = ⁿf(x), у левой части предел конечен;

правая часть предела не имеет, так как не имеет предела последовательность

ⁿ = = Cos( n) + iSin( n).

Следовательно

= , 2 n собственным числом не является.

Эти точки будут принадлежать спектру оператора А в пространстве С_[0,+

), так как спектр замкнутое множество и граница единичного круга должна принадлежать спектру оператора А в пространстве С[0, +

).

Сделаем вывод:

При |

|>1 все точки регулярные;

При |

|<1 и =1 – точки спектра;

При

= , 2 n – точки непрерывного спектра.

Вывод:

Оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C_[

_], заданный следующим образом: Af(x) = f(x+a), где функции f(x), f(x+a)

C_[

_], a R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция:

1. линейный;

2. непрерывный и ограниченный;

3. норма А: ||A|| = 1;

4. A^-1f(x) = f(x-a);

5. Спектр оператора А:

· при |

|<1 и =1 – точки спектра;

· при

= , 2 n – точки непрерывного спектра;

· При |

|>1 все точки регулярные.

Заключение

В ходе проделанной работы были рассмотрены основные определения теории линейных операторов: непрерывность, ограниченность, норма, спектр оператора и резольвента. Проведено исследование четыре оператора: оператор умножения на непрерывную функцию, оператор интегрирования, оператор дифференцирования, оператор сдвига. Можно сказать, что поставленные цели были достигнуты.

Список литературы

1. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука; Главная редакция физико–математической литературы, 1972.

2. Соболев, В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа [Текст] / В.И. Соболев. - М.: Наука, 1968.

3. Петров, В.А., Виленкин, Н.Я, Граев, М.И. Элементы функционального анализа в задачах [Текст]/ В.А. Петров, Н.Я. Виленкин, М.И. Граев под ред. О.А. Павлович. - М.: Просвещение, 1978.

4. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория [Текст]/ Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц; под ред. А.Г. Костюченко; пер. с англ. Л.И. Головина, Б.С. Литягина. – М.: Издательство иностранной литературы, 1926.

[1] E_x и E_y - линейные многообразия, то есть если x, y

E_x , то x + y E_y , при , .

E_x – область определения А;

E_y - область значения А;

[2] Равенства 1 и 2 определяются как аксиомы аддитивности и однородности;

[3]Шаром в метрическом пространстве называется совокупность элементов x пространства, удовлетворяющих условию p (x_n, x₀) < а.

Шар D(x₀, a).

Если p (x_n, x₀)

а, то D(x₀, a) – замкнутый шар.

Если p (x_n, x₀) = а, то S(x₀, a) – сфера.

Всякий шар метрического пространства, содержащий точку y, называется окрестностью точки y.

[4]Свойства нормы оператора.

1) Если оператор

ограничен, , то и оператор ограничен, причем .

2) Если операторы

ограничены, то и оператор ограничен, причем и .

[5]Линейный функционал, есть частный случай линейного оператора. Именно, линейный функционал есть линейный оператор, переводящий пространство E в числовую прямую.

[6] Резольвента – это функция комплексного переменного со значениями во множестве операторов, определенная на множестве регулярных чисел данного оператора.