Некоторые линейные операторы (стр. 1 из 9)
Содержание
Введение
§1. Определение линейного оператора. Примеры
§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора
§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента
§4. Оператор умножения на непрерывную функцию
§5. Оператор интегрирования
§6. Оператор дифференцирования
§7. Оператор сдвига
Заключение
Введение
Наиболее доступными для изучения среде операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти операторы алгебры и анализа.
Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных операторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.
В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.
В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.
В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную функцию: Ах(t) = g(t)x(t).
В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf(t)=
.В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af(x) = f(x+a).
Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки спектра и резольвента всех трех операторов.
В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf(x)=f/(x), в пространстве дифференцируемых функции D[a, b]. Показана его линейность. Доказано, что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности оператора следует его разрывность.
§1. Определение линейного оператора. Примеры
Определение 1. Пусть Ex и Ey[1]– линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: Ex ® Ey называется линейным оператором, если для любых элементов х1 и х2 пространства Ex и любого комплексного (действительного) числа
выполняются следующие равенства [2]:1. А(х1+х2) = Ах1 + Ах2;
2. А(
х) = А(х);Примеры линейных операторов:
1) Пусть Е = Е1 – линейное топологическое пространство. Оператор А задан формулой:
Ax = x для всех x
Е.Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.
2) Рассмотрим D[a,b] – пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D[a,b] задан формулой:
Дf(x) = f/(x).
Где f(x)
D[a, b], f/(x) C[a, b].Оператор Д определен не на всем пространстве C[a, b], а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.
3) Рассмотрим пространство С[- 
, + ] – пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию на const a:
Аf(x) = f(x+a).
Проверим линейность оператора А:
1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).
Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.
2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).
Верна аксиома однородности.
Можно сделать вывод, что А – линейный оператор.
4) Пусть
(пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], и дано отображение 
1, заданное формулой: 
Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то
. В силу линейности определенного интеграла данное отображение является линейным оператором.§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном
пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора
Пусть
, 
– нормированные пространства.Определение 2 .Оператор А: Е
Е1 называется непрерывным в точке 
, если какова бы не была последовательность xn x0, А(xn) сходится к А(x0). То есть, при p (xn, x0) 0, p (А(xn), А(x0)) 0.Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.
Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x0, если какова бы не была окрестность[3] U точки y0 = А (x0) можно указать окрестность V точки x0 такую, что А(V)
U.Иначе
>0 
>0, что как только p (x, x0) < 
, p (f(x), f(x0)) < 
.Теорема 1.
Если линейный оператор непрерывен в точке х0 = 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.
Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х0=0 тогда и только тогда, когда
. Пусть оператор А непрерывен в точке х0=0. Возьмем последовательность точек пространства хn®х1, тогда хn–х1®0, отсюда А(хn–х1)®А(0)=0, т. е. А(хn–х1)®0.Так как А – это линейный оператор, то А(хn–х1)®Ахn–Ах0, а тогда
Ахn-Ах0 ® 0, или Ахn®Ах0.
Таким образом, из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х0=0, следует непрерывность в любой другой точке пространства.
т. д-на.
Пример.
Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С[0, 1] в R. Проверим, является ли это отображение непрерывным.
Решение.
Пусть y(x) – произвольный элемент пространства С[0, 1] и yn(x) – произвольная сходящаяся к нему последовательность. Это означает:
p (yn, y) = 
|yn(x)- y(x))| = 0.Рассмотрим последовательность образов: F(yn) = yn(1).
Расстояние в R определено следующим образом:
p (F(yn), F(y)) = |F(yn) - F(y))| = | yn(1) - y(1)|
|yn(x)- y(x))|=p(yn,y),то есть p (F(yn), F(y))
0.Таким образом, F непрерывно в любой точке пространства С[a, b], то есть непрерывно на всем пространстве.
С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие ограниченности.
Определение 4. Линейный оператор А: Е
Е1 называется ограниченным, если можно указать число K>0 такое, что||Аx||
K||x||. (1)Теорема 2.
Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.
Доказательство:
Пусть множество S – множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k
S.