Математические модели в экономике (стр. 2 из 3)

2. для определения элементов первого квадрата материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой, вытекающей из формулы (7.4):

. Из этой формулы следует, что для получения первого столбца первого квадрата нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину ; элементы второго столбца матрицы А умножить на ; элементы третьего столбца матрицы А умножить на .

Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся с учетом формулы (7.1) как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Четвертый квадрант в нашем примере состоит из одного показателя и служит, в частности, для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта. Результаты расчета приведены в таблице.

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли
	1	2	3	Конечная продукция	Валовая продукция
123	476.76397.3158.92	118.0459.0259.02	033.760	200100120	794.6590.2337.6
Условно чистая продукция	-238.38	354.12	303.84	420
Валовая продукция	794.6	590.2	337.6	1722.4

Задание 5

Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального сглаживания (

=0,1), представить результаты сглаживания графически, определите для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на три шага вперед.

Вариант	Ряд данных
1	у = 12, 10, 11, 13, 14, 15, 14, 13, 15, 16

Найдем среднее арифметическое

Среднее квадратическое отклонение

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	-	1.06	0.53	1,06	0.53	0.53	0.53	0.53	1.06	0.53

Аномальный уровень отсутствует.

Методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания 3

Для вычисления сглаженных уровней ряда

применяется формула:

где

при нечетном m, в нашем случае m = 3, следовательно

y(t)	12	10	11	13	14	15	14	13	15	16
	-	-	11	11.3	12.7	14	14.3	14	14	14.7

Методом экспоненциального сглаживания (

=0,1)

Экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле:

, где - параметр сглаживания. В нашем случае = 0,1.

y(t)	12	10	11	13	14	15	14	13	15	16
	11.1	10.99	2.2	3.28	4.35	5.42	6.29	6.96	7.76	8.58

Графическое представление результатов сглажевания

Ниже в таблице приведены исходный ряд данных yt и сглаженные двумя способами уровни исходного ряда. При этом при сглаживании при помощи метода простой скользящей средней использовался интервал сглаживания m = 3.

При сглаживании экспоненциальным методом был доведён параметр сглаживания а = 0,1

Соответственно, числовая последовательность весов имела вид:

t	yt	методом простой скользящей средней	_методомyэкспоненциальногосглаживания
1	12	-	11.1
2	10	11	10.99
3	11	11.3	2.2
4	13	12.7	3.28
5	14	14	4.35
6	15	14.3	5.42
7	14	14	6.29
8	13	14	6.96
9	15	14.7	7.76
10	16	-	8.58

Чтобы правильно подобрать лучшую кривую роста для моделирования и прогнозирования экономического явления, необходимо знать особенности каждого вида кривых в экономике часто используется полиномиальная кривая роста, как кривая с полиномом первой степени.

Параметр a1 называют линейным приростом. Для полинома первой степени характерен постоянный закон роста. Если посчитать первые приросты по формуле

ut = yt – yt-1, t = 2,3,…,n,

то они будут постоянной величиной и равны а 1.

Значения прироста для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции

.

Полиномные кривые роста можно использовать для аппроксимации (приближения) и прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня. Исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней.

Необходимо оценить адекватность и точность построения модели, т.е. необходимо выполнение следующих условий:

a) проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности:

Проверку случайности уровней ряда проведем по критерию пиков, должно выполняться:

t	Фактическое	Расчётное	Отклонение	Точки пиков
12345678910	12101113141514131516	10.9911.5112.0312.5513.0713.5914.1114.6315.1515.67	1.01-1.51-1.030.450.931.41-0.11-1.63-0.150.33	--10001010-
55	133	133.3	-	3

a) проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения:

В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда.

Необходимые условия:

Если эти условия выполняются одновременно, то гипотеза о характере распределения случайной компоненты принимается, если выполняется хотя бы одно из следующих неравенств:

то гипотеза о нормальном распределении отвергается, трендовая модель признаётся неадекватной.

1)

2)

Таким образом, одно из неравенств не выполняется, трендовая модель неадекватна, значит, дальнейшее исследование не имеет смысла, но попробуем.

Прогнозирование экономических показателей на основе трендовых моделей основано на распространении закономерностей, связей и соотношений, действующих в изучаемом периоде, за его пределами. Достоверный прогноз возможен лишь относительно таких объектов и явлений, которые в значительной степени детерминируются прошлым и настоящим. При прогнозировании лучше задавать интервалы значений, в которых с достаточной долей уверенности можно ожидать появления прогнозируемой величины. Установление такого интервала называется интервальным прогнозом.

Прогноз на основании трендовых моделей (кривых роста) содержит два элемента: точечный и интервальный прогнозы.

Для полинома первой степени адекватная линейная модель