Математические модели в экономике (стр. 1 из 3)
Факультет дистанционного обучения
Томский государственный университет
систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)
Кафедра экономики
Контрольная работа № 1
по дисциплине «математические модели в экономике »
выполнена по методике М.Г. Сидоренко «математические модели в экономике»
Вариант-1
Выполнил:
студент ФДО ТУСУР
гр.: з-828-Б
специальности 080105
Афонина Ю.В,
1 декабря 2010 г.
Г. Нефтеюганск
2010г
Задание 1
В пространстве трех товаров рассмотрите бюджетное множество при векторе цен P и доходе Q. Описать его и его границу с помощью обычных и векторных неравенств и равенств, изобразите бюджетное множество и его границу графически. В ответ дать число, равное объему бюджетного множества.
| Вариант | 1 |
| Данные | P = (1,3,4)Q = 24 |
 |
, товара 
, товара 
и 
бюджетное множество 
есть пирамида ОАВС. Точка А имеет координату 
, точка В имеет координату 
, точка С имеет координату 
.
| Вариант | Данные |
| 1 | D = 1000 – 10p; S = 100 +10p |
Решение:
Точка равновесия характеризуется равенством спрос и предложения, т.е. 1000 – 10p = 100+10p. Равновесная цена p* = 45 и выручка при равновесной цене W(p*) = p* * D(p*) = p* * S(p*) = 24750.
При цене p > p* объем продаж и выручка определяется функцией спроса, при p < p* - предложения. Необходимо найти цену
, определяющую максимум выручки: 
p*(1000 – 10p) – функция имеет максимум в точке 50, W(50)=25000
p*(100 - 10p) –функция максимальна в точке 5, W(5)=250
Таким образом, максимальная выручка W(р) =25000 достигается не при равновесной цене.
Задание 3
Найдите решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры).
| Вариант | Игра |
| 1 |  |
Сначала необходимо проверить наличие седловой точки. Седловой точки нет.
Обозначим стратегию Первого
, искомую оптимальную стратегию Второго 
.Выигрыш Первого есть случайная величина с таким рядом распределения:
| W(x,y): | 2 | -3 | -2 | 2 |
| xy | x(1-y) | (1-x)y | (1-x) (1-y) |
Находим средний выигрыш за партию Первого – математическое ожидание случайной величины W(x,y):
M(x,y)=2xy-3x(1-y)-2(1-x)y+2(1-x)(1-y)=2xy-3x+3xy-2y+2xy+2-2x-2y+2xy=9xy-5x-4y+2=9x(y-5/9)-4(y-5/9)+6/9=9(y-5/9)(x-4/9)+6/9
Для нахождения оптимальных стратегий игроков необходимо, чтобы M(x,y*)≤ M(x*,y*)≤ M(x*,y). Это выполняется при x*=4/9 и y*=5/9, так как именно в этом случае M(x , 5/9) = M(4/9 , 5/9) = M(4/9 , y) = 6/9.
Следовательно, оптимальная стратегия первого игрока есть
,Второго -
. Цена игры по определению равна v=M(P*,Q*)=6/9Задание 4
Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции. Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул обращения невырожденных матриц и приближенно), заполнить схему межотраслевого баланса.
| Вариант | Данные |
| 1 |  |
1. определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат по второму способу, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно. Запишем матрицу коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка:
матрицу коэффициентов второго порядка:
Таким образом, матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна:
3. определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невыраженных матриц (первый способ).
А) находим матрицу (Е - А):
Б) вычисляем определитель этой матрицы:
В) транспонируем матрицу (Е - А):
Г) находим алгебраические дополнения для элемента матрицы
:
Таким образом, присоединенная к матрице (Е – А) матрица имеет вид:
Д) используя формулу (7.14), находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:
Элементы матрицы В, рассчитанные по точным формулам обращения матриц, больше соответствующих элементов матрицы, рассчитанных по второму приближенному способу без учета косвенных материальных затрат порядка выше 2-го.
1. найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор Х), используя формулу (7.9)