Спектральная теория операторов (стр. 2 из 7)

Обратный оператор (

I—Т) очевидно, линеен. Однако для наших целей весьма важно знать условия, при выполнении которых обратный оператор (

I–Т)

кроме того и непрерывен. Для этого необходимо, чтобы множество значений оператора (

I—Т) совпадало со всем пространством H. Но самое замечательное при этом заключается в том, что для замкнутых операторов это условие оказывается и достаточным, и этим в значительной степени объясняется наш интерес к замкнутым операторам.

Теорема 2.1 Пусть Т — замкнутый линейный оператор и число

не принадлежит его точечному спектру. Пусть, далее, множество значений оператора ( I— Т) совпадает со всем пространством Н. Тогда оператор ( I—T)^-1 ограничен, т. е. для любого элемента х из Н и некоторого числа М (зависящего от ) справедлива оценка

(2.1).

Доказательство. Оператор (

I—T) замкнут и его область определения есть все пространство Н. Следовательно, по теореме о замкнутом графике он должен быть непрерывным.

Определение2.2 Множество комплексных чисел

, не являющихся собственными значениями оператора Т, таких, что множество значений оператора I— Т совпадает со всем пространством Н, называется резольвентным множествомоператора Т и обозначается через p(Т).Для р(T) оператор ( I— Т)-¹обозначается через R( ,T)и называется резольвентой Т.Дополнение резольвентного множества называют спектромоператора. Таким образом, точечный спектр оператора является подмножеством его спектра [5].

Пример 2.1. Пусть H =L₂(0, 1),aD— класс функций, производные которых тоже принадлежат L₂(0, 1). Для функций f

Dположим Tf=

. Тогда оператор Т замкнут и его область определения плотна. Рассмотрим его резольвентное множество. Уравнение f—

= 0 означает, что f(t)=f(0)e

и e

L₂(0, 1). Таким образом, все числа

принадлежат спектру оператора T, и потому его резольвентное множество пусто. Этого, однако, не может быть для ограниченных операторов.

2.2 Понятие об ограниченном операторе

Теорема 2.2 Пусть Т — ограниченный оператор, отображающий пространство Н в себя. Тогда

р(T), если | |>r, где r = lim . Число г>0 называется спектральным радиусом оператора Т [5]

Доказательство.Основной шаг заключается в доказательстве сходимости ряда

(2.2)

для всех |

|>г. Это непосредственно следует из того факта, что мажорирующий ряд

(2.3)

абсолютно сходится при |z|>lim

. Следовательно, ряд сходится по норме пространства L(H,H). Более того, имеем так что

(

I – T)( )=( )( – T)=( ) (2.4)

Следствие 2.1 Спектр произвольного замкнутого оператора является замкнутым множеством. Спектр ограниченного оператора не пуст.

Доказательство. Сначала докажем, что резольвентное множество произвольного замкнутого оператора открыто. В случае, если резольвентное множество замкнутого оператора пусто, то доказывать нечего. Предположим, что резольвентное множество не пусто и содержит число

₀. Покажем, что все , удовлетворяющие условию | – ₀|/||R( ₀; T)&bsol; < 1, принадлежат резольвентному множеству. Прежде всего, отметим, что для таких ряд ( – ₀)^пR( ₀; Т)^псходится и

(I+ (

– ₀) R( ₀; T)) = ( ₀– ) R( ₀; Т)^п(2.5).

Докажем, что

(2.6)

Пусть x

H. Имеем

(

I – T)(

)x=x(2.7).

Если x

D(T), то

(2.8).

Таким образом, оператор R(λ;T) — резольвента. Следовательно, резольвентное множество открыто. Более того, имеем

R(

)=

(2.9)

при ||λR(λ₀;T)||< 1.

Таким образом, если L(∙) — линейный непрерывный функционал на L(H,H), то функция L(R(K;T))оказывается аналитической на резольвентном множестве оператора Т. Рассмотрим теперь случай, когда оператор Т ограничен. Предположим, что его спектр — пустое множество. Тогда для любого линейного непрерывного функционала L(∙)аналитическая функция L(R(λ;Т)) определена на всей комплексной плоскости и, кроме того, она ограничена в бесконечности, поскольку ||λR(λ; Т) ||≤(1–

/λ)-¹ для всех |λ|>||Т||. Следовательно, в силу классической теоремы Лиувилля для любого функционала L(∙) и любого комплексного λ функция L(R(λ;Т)) тождественно равна пулю. НотогдаL(I)=L(λR(λ;T)–TR(λ; I)) = L(TR(λ; T)). Поэтому в силу сходимости правой части последнего равенства к нулю при λ→ +

L(I) = 0 для любого линейного непрерывного функционала L(∙),что невозможно. Таким образом спектр ограниченного оператора не может быть пустым.