Спектральная теория операторов (стр. 5 из 7)

Лемма 3.2 Предположим, что

0 и множество значений оператора (

I –Т) совпадает со всем пространством Н. Тогда принадлежит резольвентному множеству оператора Т [10].

Доказательство. Достаточно показать, что

не является собственным значением оператора Т. Предположим противное; тогда найдется элемент х

0 такой, что х=Тх. Так как множество значений оператора I–Т совпадает со всем пространством, то существует элемент f₁из Hтакой, что f₁–Tf₁= x. Далее, по той же причине найдется элемент f₂ такой, что f₂–Tf₂=f₁. По индукции строится последовательность {f_k} такая, что

f_k – Tf_k = f_k-1(3.3)

f₁ – Tf₁ =x=f₀ (3.4)

Обозначим через E_kподпространство, порожденное элементами {f_0,...,f_k}. Докажем, что dimE_k> dimE_kдля всех k

1. Для этого достаточно показать, что элемент f_kне принадлежит пространству E_k-1. Предположим противное. Тогда

f_k=

(3.5)

Следовательно,

Tf_k=

a_iTf_i= a_i [ f_i–f_j-1] + a0

f₀(3.6).

С другой стороны, Tf_k= Xf_k — Tf_k-1. Таким образом,

f_k–f_k-1 = –

(3.7)

или

f_k–f_k-1=

(3.8).

Следовательно, противоположное утверждение остается верным для (k–1), и потому оно справедливо и для случая k= 1, что невозможно. Далее, если dimE_k> dimE_k-1, то существует ортонормированная последовательность векторов {е_k} такая, что e^kортогонален подпространству E_k-1. Но [

I–T]Ek

E_k-1и потому [(

I— Т)е_к, e_k] = 0, т. е.

= [Te_k, e_k]. Но последовательность {e_k} слабо сходится к нулю, поэтому последовательность {Te_k} сходится к нулю сильно. Следовательно = 0, что невозможно.

3.2 Собственное значение компактного оператора

Лемма 3.3 Предположим, что ненулевое комплексное число

принадлежит спектру оператора Т. Тогда является собственным значением оператора Т*.

Доказательство. Применяя предыдущую лемму, получим, что множество значений оператора (

I–Т) не совпадает со всем пространством. Так как множество значений оператора (

I–Т) замкнуто, то существует ненулевой элемент у такой, что для любого x

Hсправедливо равенство [

х–Тх, у] = 0, или [х,

у–Т*у] = 0. Таким образом, является собственным значением оператора Т. Из вышеприведенных лемм следует следующая теорема

Теорема 3.1 Пусть

– ненулевое комплексное число. Тогда либо является собственным значением оператора Т, либо оно принадлежит его резольвентному множеству. (Это утверждение называется альтернативой Фредгольма.)

Доказательство. Достаточно показать, что если число

принадлежит спектру оператора Т, то оно является собственным значением. Если не принадлежит спектру T и не является собственным значением, то множество значений оператора (

I–Т) не совпадает со всем пространством. Согласно предыдущей лемме отсюда следует, что является собственным значением сопряженного оператора T٭. Применяя лемму 2.3 еще раз, получим, что является собственным значением оператора T** = T. Теорема доказана.

Лемма3.4 Пространство собственных функций, отвечающих ненулевому собственному значению, конечномерно.

Доказательство.Пусть

– ненулевое собственное значение.Предположим, что соответствующее пространство собственных функций бесконечномерно. Пусть {е_к}— ортонормальный базис этого подпространства. Тогда Te_k =

e_k, и потому [Te_k, e_k] =

. Но последовательность {Te_k} должна сильно сходиться к нулю, что невозможно.

Лемма 3.5 Последовательность {Х_п} ненулевых и попарно различных собственных значений оператора Т может иметь предельной точкой лишь нуль.

Точно так же, как и в конечномерном случае, собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы. Действительно, пусть Тх =

х, Тх₂= х₂, Tx_m =

x_m. Пусть, далее, mявляется наименьшим целым числом таким, что элемент х_тпринадлежит подпространству, порожденному элементами {х, .., Х_т-1). Тогда