Спектральная теория операторов (стр. 7 из 7)
где I— тождественный оператор. Из этих равенств следует
T= 
, Ei= 
(3.19)
причем последовательность операторов проектирования {Ei} не убывает. Такого рода представление можно получить и для произвольного ограниченного оператора.
Пример 3.1 Задача определения собственных значений и собственных функций компактного самосопряженного оператора в общем случае довольно сложна и, за исключением отдельных случаев, может быть решена лишь численно. Здесь мы рассмотрим лишь простейшую итерационную процедуру, позволяющую решить эту задачу приближенно. Пусть Т—компактный самосопряженный оператор и х произвольный ненулевой элемент пространства Н. Предполагая Тх 
0, положим хп = Тпх/ 
. Если Ттх = 0 для некоторого m, то элемент х должен принадлежать ядру оператора T, и потому он является собственным вектором. Таким образом, если элемент х не является собственным вектором, отвечающим нулевому собственному значению, то Тпх 0 для любого п. Предположим, что это условие выполнено. Рассмотрим спектральное представление Tx = 
, где
I –ненулевые собственные значения, аPi —операторы проектирования на соответствующие подпространства собственных векторов. Предположим, что модули собственных значений образуют невозрастающую последовательность, т.е. 
... Определим оператор P 
следующим образом. Если +| 
| является собственным значением, то Р — оператор проектирования на соответствующее подпространство собственных векторов, в противном случае P — нулевой оператор. Аналогично, если —| | — собственное значение, то Р 
— проектор на соответствующее подпространство собственных векторов,иначе Р — нулевой оператор. Итак, пусть последовательность собственных значений упорядочена по возрастанию их модулей: … Тогда ясно, что последовательность[Тхп, хп] = 
сходится к
.если только || P 
x||2 +
0.Последовательность {x2n} сильно сходится к
(P x + P 
x)/|| (P x– P x)||
а последовательность х2n+1 сходится к
(P x + P x)/|| (P x– P x)||.
В более общем случае следует положить
k = inf {j: ||P 
x + P 
x|| 0}
и во всех последовательностях, рассмотренных выше, вместо индекса 1 подставить k. С целью ускорения сходимости процесса можно исходить из оператора Т –
Iвместо Т. Это и есть обобщение энергетического метода на бесконечномерный случай.Заключение
В данной курсовой работе были рассмотрены линейный оператор, спектральная теория операторов и, в частности, спектральная теория компактных операторов, показано решение некоторых задач.
Наиболее изученным классом теории операторов является теория компактных операторов, но, не смотря на это, остаётся пространство для исследования и изучения более глубокого.
Решение ряда важных задач спектральной теории связано с теорией аналитических функций. Дело в том, что основные объекты, характеризующие спектральную задачу для оператора, такие как резольвента, собственные значения оператора и другие, являются аналитическими функциями спектрального параметра в определённых областях.
На мой взгляд данная курсовая работа будет интересна всем, кто интересуется математикой.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Ахнезер, М.Н., Глазман И.Н. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве/ М.Н. Ахнезер, И.Н. Глазман. – Киев: Виша школа, 1977. – 336 с.
2. Балакришнан, A.(BalakrishnanA.V.). Slochaslic Differential system/ A.V. Balakrishnan. – N.-Y.: Springer-Verlag, 1960. – 451 с.
3. Балакришнан, A.(Balakrishnan A.V.).Communication theory/ A.V. Balakrishnan. – N.-Y.: McGraw-Hill, 1968. – 432 с.
4. Блум, Е.(Blum E.K.). Numerical Analysis and Computation. Theory and Placlice/ Е. Блум. N.-Y.:Addison Wesley. 1972.–274 c.
5. Данфорд, Н. Линейные операторы/ Н. Данфорд, Дж. Шварц.– М.:
Наука, 1966.– 386 с.
6. Канторович, Л.В. Функциональный анализ/ Л.В. Канторович, Акилов Г.П. – М.: Наука, 1977.– 231 с.
7. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа/. Л.А. Люстерник, В. И. Соболев. – М.: Наука, 1965. – 496 с.
8. Люстерник, Л.А. Топология функциональных пространств и вариационное исчисление в целом/. Л.А. Люстерник, В. И. – М.: Наука, 1961. – 442 с.
9. Садовничий, В. А. Теория операторов/ В. А. Садовничий. – М.: Издательский дом «Дрофа», 2004. – 816 с.
10. Халмош, П. (Halmos P.) Introduction to Hilbert Space Theory/ П. Халмош. – .N-Y: Chelsea Publishing Co., 1951. – 480 с.