ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Спектральная теория операторов

Саранск 2009

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………..………………………………………………..4

1 Линейный оператор…………………………………………………………...4

1.1 Понятие линейного оператора………………………………………...4

1.2 Линейные преобразования………………………………………….....4

1.3 Сопряжённый и самосопряжённый оператор………………………..5

2 Спектральная теория компактных операторов……………………………...7

2.1 Спектр оператора……………………………………………………...7

2.2 Понятие об ограниченном операторе………………………………...8

2.3 Понятие о компактном операторе…………………………………...13

3 Спектральная теория компактных операторов……………………………….16

3.1 Множество значений компактного оператора……………………........16

3.2 Собственное значение компактного оператора……………………..18

Заключение……………………………………………………………………...25

Список использованных источников……………………………………..…...26

ВВЕДЕНИЕ

Данная курсовая работа посвящена спектральной теории операторов. В отдельной главе более подробно рассматривается спектральная теория компактных операторов. Важнейшими задачами этой теории являются утверждения о приведении изучаемых операторов к так называемому диагональному виду – спектральные теоремы, утверждения о свойствах спектра и собственных значениях.

Цель данной курсовой работы – познакомить тех, кто интересуется математикой со спектральной теорией операторов, в частности, со спектральной теорией для компактных операторов.

Данная курсовая работа состоит из трёх глав:

1) Линейный оператор;

2) Спектральная теория операторов;

3) Спектральная теория компактных операторов.

В первой главе рассматривается понятия линейного оператора, линейные преобразования, сопряжённый и самосопряжённыйоператор.

Во второй главе рассматривается понятие спектра оператора, теорема для замкнутого линейного оператора, спектральный радиус,понятие об ограниченном операторе и компактных операторах, а также теорема, являющаяся важным характеристическим свойством компактных операторов.

В третьей главе рассматриваются множество значений компактного оператора, собственные значения компактного оператора. В каждой главе приводятся решённые примеры.

1 Линейный оператор

1.1 Понятие линейного оператора

Функцию, множество значений которой принадлежит полю скаляров, называют функционалом.

Вообще функция может быть определена не на всем гильбертовом пространстве, а лишь на некотором его подмножестве. Это подмножество называют областью определения функции. Множеством значений функции называют множество, в которое эта функция отображает свою область определения. Для удобства условимся обозначать область определения через D, гильбертово пространство ее содержащее, — через Н₁ множество значений — через R а содержащее его пространство — через Н₂.

Определение 1.1 Оператор (преобразование) L называется линейным, если его область определения D является линейным подпространством (плотным или нет) и он линеен на D

x +

y)=

Lx +

Ly (1.1). [9]

Множество линейного оператора также является линейным подпространством.

1.2 Линейные преобразования

Определение 1.2 Графиком G(T) линейного преобразования Т называется подпространство в произведении подпространств Н₁

Н₂, образованное по правилу

G(T) =

(1.2).

Определение 1.3 Линейное преобразование Т называется замкнутым, если его график функции замкнут в Н₃. Иначе замкнутость оператора Т можно определить так: пусть x_n

D(T), x_n

x, Tх_n

у. Тогда x

D(Т) и Тх = у.

Отметим, что, как правило, дифференциальные операторы замкнуты. Этот факт и определяет необходимость рассмотрения класса замкнутых операторов.

Определение 1.4 Линейное преобразование Т называется ограниченным, если D = Н₁ и

sup

=M<

(1.3).

Определение 1.5 Нормой линейного ограниченного преобразования T называется число

sup

(1.4)

Линейное преобразование ограничено, если оно непрерывно в начале координат. Тогда оно непрерывно в каждой точке. Ограниченное линейное преобразование, очевидно, непрерывно.

Пусть Т₁, Т₂ — линейные ограниченные операторы, отображающие пространство Н₁в Н₂. Тогда ясно, что сумма T₁+Т₂ также является линейным ограниченным оператором. Кроме того,

(1.5)

В силу определения (

T)x=

Тх, где

элемент поля скаляров, следовательно, оператор

Т ограничен, если T ограничен. Следовательно, множество всех линейных ограниченных операторов образует линейное пространство, а норма оператора является нормой на этом пространстве. Полученное таким образом линейное нормированное пространство операторов обозначается через L(H₁,H₂). Нетрудно показать, что пространство L(H₁,H₂) полно. Действительно, если {Tn} — последовательность Коши этого пространства, то для любого элемента х пространства H₁ имеем

(1.6).

Следовательно, {T_nx} является последовательностью Коши пространства H₂, ее предел обозначим через Тх. Очевидно, что оператор Т линеен и ограничен. Если n>N(e) и

, то

(1.7).

1.3 Сопряжённый и самосопряжённый оператор

Определение 1.6 Пусть T — линейный ограниченный оператор из H₁ в Н₂ сопряженный оператор T* (определенный на Н₂ и принимающий значения в Н.) определяется условием у = Т*х в том и только том случае, если существует вектор у такой, что [y,z] = [x,Tz] для любого z

H₁.

Определение 1.7 Пусть H₁=H₂=H. Оператор L c плотной областью определения, называется самосопряжённым, если L=L* [9].

2 Спектральная теория операторов

2.1 Спектр оператора

В приложениях часто возникает следующая задача: задан оператор Т, найти элемент х такой, что Тх=у, где элемент у задан. В общем случае множество решений может оказаться либо пустым, либо содержать слишком много элементов. Можно рассмотреть несколько более общую задачу: найти элемент х такой, что

х—Тх=у, где

— скаляр. Важность рассмотрения этой задачи обусловлена тем, что последняя тесно связана со структурой самого оператора. Возможно, что читатель имеет представление о собственных значениях и собственных векторах матрицы. Спектральная теория операторов рассматривает вопросы, связанные с этими понятиями, но уже для более широкого класса операторов. В дальнейшем гильбертовы пространства рассматриваются над полем комплексных чисел.

Определение2.1 Пусть Т — замкнутый линейный оператор, отображающий пространство Н в себя. Комплексное число

называется собственным значениемоператора Т, если существует элемент х. из Н такой, что Тх =

х; при этом элемент х (предполагается, что его норма равна 1) называется собственным вектором, соответствующим

. Множество всех собственных значений оператора Т образует его точечный спектр [4].

Если комплексное число Xне принадлежит точечному спектру оператора Т, то, безусловно, можно определить оператор (

I– T)^-1 (здесь I — тождественный оператор): х= (

I— Т)

yв том и только том случае, если у=

–Тх.

Спектральная теория операторов (стр. 1 из 7)

ВВЕДЕНИЕ