Шпаргалка по Математическому анализу (стр. 5 из 5)

(1+x)

-1~kx, k>0

Тригонометрия

cos2(α)+sin2(α)=1

cos(α-β)= cos(α) cos(β)+sin(α)sin(β)

cos(α+β)= cos(α) cos(β)-sin(α)sin(β)

sin(α+β)=sin(α) cos(β)+cos(α)sin(β)

sin(α-β)=sin(α) cos(β)-cos(α)sin(β)

tg(α+β)=(tg(α)+tg(β))/(1-tg(α)tg(β))

tg(α-β)=(tg(α)-tg(β))/(1+tg(α)tg(β))

cos(π/2-α)=sin(α)

sin(π/2-α)=cos(α)

cos(2α)= cos2(α)-sin2(α)

cos(2α)= 1-2 sin2(α)

cos(2α)=2cos2(α)-1

sin(2α)=2cos(α)sin(α)

tg(2α)=2tg(α)/(1-tg2(α))

sin2(α)=(1-cos(2α))/2

cos2(α)=(1+ cos(2α))/2

tg2(α)=(1-cos(2α))/(1+ cos(2α))

sin(α)=2tg(α/2)/(1+tg2(α/2))

cos(α)= (1-tg2(α/2))/ (1+ tg2(α/2))

sin(α)sin(β)=(1/2)(cos(α-β)-cos(α+β))

cos(α)cos(β)=(1/2)(cos(α-β)+cos(α+β))

sin(α)cos(β)=(1/2)(sin(α+β)+cos(α-β))

sin(α)-sin(β)=2sin((α-β)/2)cos((α+β)/2)

sin(α)+sin(β)=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)

cos(α)+cos(β)=2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2)

cos(α)-cos(β)=2sin((α+β)/2)sin((β- α )/2)

tg2(α)+1=1/cos2(α)

1+ctg2(α)=1/sin2(α)

2sin2(α)=1- cos2(α)

sin2(α)=(1- cos2(α))/2

Асимптоты.

Опр. Часть графика называется бесконечной ветвью если при движении точки по этой части, расстояние между ей и началом координат стремится к бесконечности.

Опр. Прямая называется асимптотой бесконечной ветви графика функции, если при удалении точки от начала координат по этой ветви, расстояние до данной прямой стремится к нулю.

Теорема 1:x=a (вертикальная прямая) – является асимптотой для бесконечно вертикальной ветви графика функции y=f(x), тогда когда f(x)®µ, при x®a.

Теорема 2: Критерий существования наклонной асимптоты прямая y=kx+b является асимптотой для правой (левой) ветви графика функции тогда, когда существует предел при :

Док-во: Точка M0(x0,y0) и прямая

L: Ax+By+Cz=0, то расстояние

Пусть y=kx+b

асимптота =>

d(M,l)®0=>

kx-f(x)+b®0

тогда f(x)-kx®b

при x®+µ

существует предел:

Дифференцирование функций заданных параметрически.

Пример 1:

возьмем t=1, тогда x=2, y=3; y’(2)=7/3

Пример 2:

Аналитические признаки поведения функции.

Теорема: Критерий постоянства фун.

Функция f(x)=const на промежутке [a,b], тогда, когда f’(x)=0 на интервале (a,b).

Док-во: f(x)=c => f’(x)=c’=0 возьмем "xÎ[a,b] и применим т. Лангранжа f(x) [a,b] по т. Лангранжа f(x)-f(a)=f’(c)(x-a); cÎ(a,x); f(x)-f(a)=0; f(x)=f(a) для любого x => f(x)=const.

Теорема: Достаточный признак возрастания функции. Если f’(x)>0, (a,b), то f(x) возрастает на [a,b].

Док-во:

возьмем x1, x2 Î[a,b]: x1<x2 => f(x2)>f(x1)

применим т. Лангранжа f(x) на [x1,x2]

по этой теореме f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1)>0 => f(x2)>f(x1).Замечание: данные условия не являются необходимыми.

Теорема: достаточный признак убывания функции. Если f’(x)<0 на (a,b), то f(x) убывает на [a,b].

Док-во 1: подобно предыдущему.

Док-во 2: g(x)=-f(x),тогда g’(x)=-f’(x)>0

=> g(x) - возрастает => f(x) – убывает.

Несложно показать, что если функция возрастает (убывает) на [a,b], то ее произв. не отрицат.(положит.) на (a,b).

f(x) возрастает: [a,b]=>f’(x)Ê0 (a,b).

Признаки экстремума функций.

Опред: точка x0 называется точкой max (min) если существ. такая окрестность данной точки, что в x0 фун. принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Точка х0 наз. точкой экстремума, если эта точка max или min данной функции.

Теорема: Необходимый признак экстремума функции.

Если х0 точка экстремума f(x), то :

1). Либо не существует f’(x0)

2). Либо f’(x0)=0

Док-во:

1). Не сущест. f’(x0)

2). Сущест. f’(x0) - по т. Ферма f’(x0)=0

Замечание: данные условия не являются достаточными.