Смекни!
smekni.com

Пределы Сравнение бесконечно малых величин (стр. 2 из 3)

Данное условие записывается в виде:

. Отметим, что интервал длины
, который содержит в себе точку
, называется
-окрестностью точки
.

Аналогичным образом вводится понятие предела функции и при стремлении

к
. Так же как и в случае числовой последовательности, для функции существует теорема Коши, которая определяет существование у нее предела.

Теорема Коши о существовании предела. Для того чтобы функция

, где
, имела предел
при
, где
, необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовало такое число
, что из условия
вытекало условие
.

Доказательства теоремы приводить не будем. В качестве предела функции могут служить как конечные, так и бесконечные величины.

Геометрический смысл теоремы Коши заключается в следующем. Возьмем некоторое

, для которого
. Тогда, согласно теореме,
. Представим данное неравенство следующим образом:
. Иначе говоря, как только
станет отличаться от
меньше, чем на
, сама функция окажется в полосе шириной
, расположенной на линии
.

В приведенном определении предела и теореме Коши

может стремиться к
произвольным образом. Однако во многих случаях это стремление происходит с какой-то одной стороны. Для этого вводятся понятия односторонних пределов.

Определение 2.2. Если

стремится к
, оставаясь все время меньше его, и при этом
стремится к
, то это число называется пределом функции слева и обозначается
.

Определение 2.3. Если

стремится к
, оставаясь все время больше его, и при этом
стремится к
, то это число называется пределом функции справа и обозначается
.

Необходимо иметь в виду, что не всегда пределы слева и справа в точке

равны между собой.

3. Второй замечательный предел

Рассмотрим числовую последовательность

, где
,
С ростом
основание степени уменьшается до единицы, а показатель растет до бесконечности, поэтому ничего конкретного о поведении
сказать нельзя. Для вычисления
воспользуемся выражением для бинома Ньютона:

.

В нашем случае

.

Из полученного выражения следует, что с увеличением

величина
растет. Действительно, перейдем от
к
. Это приведет к тому, что число слагаемых возрастет на одно. Кроме того, величина множителей, заключенных в скобки, тоже возрастет, так как
. Но если увеличивается число слагаемых и сами слагаемые растут, то
. Значит, числовая последовательность
монотонно возрастает.

Докажем теперь, что данная последовательность ограничена сверху. Заменим все скобки вида

единицей. Так как
, то

.

Кроме того

,
,...,
. Значит,

.

В правой части неравенства после цифры 2 стоит убывающая геометрическая прогрессия. Как известно, сумма

первых членов такой прогрессии равна:
. В нашем случае
. С ростом
величина
будет, очевидно, стремится к единице. Значит,
, то есть, ограничено сверху.

Итак, мы получили, что

. Но так как
монотонно возрастающая последовательность ограниченная сверху, то она имеет предел:

Можно доказать, что данный предел справедлив не только для натуральных чисел, но и для любых значений

:

.

Полученное выражение и называется вторым замечательным пределом.