Данное условие записывается в виде:
. Отметим, что интервал длины
, который содержит в себе точку
, называется
-окрестностью точки
.
Аналогичным образом вводится понятие предела функции и при стремлении
к
. Так же как и в случае числовой последовательности, для функции существует теорема Коши, которая определяет существование у нее предела.
Теорема Коши о существовании предела. Для того чтобы функция
, где
, имела предел
при
, где
, необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовало такое число
, что из условия
вытекало условие
.
Доказательства теоремы приводить не будем. В качестве предела функции могут служить как конечные, так и бесконечные величины.
Геометрический смысл теоремы Коши заключается в следующем. Возьмем некоторое
, для которого
. Тогда, согласно теореме,
. Представим данное неравенство следующим образом:
. Иначе говоря, как только
станет отличаться от
меньше, чем на
, сама функция окажется в полосе шириной
, расположенной на линии
.
В приведенном определении предела и теореме Коши
может стремиться к произвольным образом. Однако во многих случаях это стремление происходит с какой-то одной стороны. Для этого вводятся понятия односторонних пределов.Определение 2.2. Если
стремится к , оставаясь все время меньше его, и при этом стремится к , то это число называется пределом функции слева и обозначается .Определение 2.3. Если
стремится к , оставаясь все время больше его, и при этом стремится к , то это число называется пределом функции справа и обозначается .Необходимо иметь в виду, что не всегда пределы слева и справа в точке
равны между собой.3. Второй замечательный предел
Рассмотрим числовую последовательность
, где , С ростом основание степени уменьшается до единицы, а показатель растет до бесконечности, поэтому ничего конкретного о поведении сказать нельзя. Для вычисления воспользуемся выражением для бинома Ньютона: .В нашем случае
.Из полученного выражения следует, что с увеличением
величина растет. Действительно, перейдем от к . Это приведет к тому, что число слагаемых возрастет на одно. Кроме того, величина множителей, заключенных в скобки, тоже возрастет, так как . Но если увеличивается число слагаемых и сами слагаемые растут, то . Значит, числовая последовательность монотонно возрастает.Докажем теперь, что данная последовательность ограничена сверху. Заменим все скобки вида
единицей. Так как , то .Кроме того
, ,..., . Значит, .В правой части неравенства после цифры 2 стоит убывающая геометрическая прогрессия. Как известно, сумма
первых членов такой прогрессии равна: . В нашем случае . С ростом величина будет, очевидно, стремится к единице. Значит, , то есть, ограничено сверху.Итак, мы получили, что
. Но так как монотонно возрастающая последовательность ограниченная сверху, то она имеет предел: Можно доказать, что данный предел справедлив не только для натуральных чисел, но и для любых значений
: .Полученное выражение и называется вторым замечательным пределом.