Алгоритмы с многочленами (стр. 2 из 9)
Из равенства
следует равенство 
.7. Многочлены
, 
, и только они будут делителями многочлена 
, имеющими такую же степень, что и .Действительно,
. То есть делится на .Если
делится на 
, причем степени и совпадают, то степень частного от деления на должна быть равной нулю, то есть 
, 
, откуда 
.Отсюда вытекает следующее свойство:
8. Тогда и только тогда многочлены
, 
одновременно делятся друг на друга, если 
, .Из 1. и 8. вытекает свойство:
9. Всякий делитель одного из двух многочленов
, , где , будет делителем и для другого многочлена.Свойства делимости многочленов могут быть применены для изучения делимости в множестве целых чисел. Выясним, например, для каких целых чисел n число 
является простым.
Натуральное число, отличное от 1, называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя; целое отрицательное число k называется простым, если число –k простое.
Для ответа на поставленный вопрос заметим, что справедливо равенство
(2.3)и поэтому число
делится на 
и на 
Следовательно, оно может быть простым только в случае, когда один из этих делителей равен 1 или –1, т.е. выполняется хотя бы одно из равенств 
Остается проверить следующие значения n: 3, 1, 0, -3, -1 и –2. При этих значениях nрассматриваемое число равно соответственно 19, -5, 3, 4, так что искомое множество чисел есть
Может возникнуть вопрос: откуда взялось равенство (2.3)? Как мы догадались, что многочлен
таким образом раскладывается на множители? Для нахождения разложений такого типа необязательно прибегать к искусственным группировкам, это можно сделать с помощью теории, которая будет изложена ниже.Из этого примера видно, что уже для решения задач, связанных с делимостью целых чисел, полезно уметь выяснять, делится ли данный многочлен на некоторый другой многочлен (раскладывается ли на множители).Ответ на такой и многие другие вопросы можно найти с помощью деления многочлена с остатком.
2.2. Деление многочленов с остатком
Для многочленов, как и для целых чисел, существует алгоритм деления с остатком.
Теорема о делении с остатком. Для любых двух многочленов f(x) и g(x) можно найти такие многочлены q(x) и r(x , что
f(x)=g(x)q(x)+r(x),
причем степень r(x) меньше степени g(x) или же r(x)=0. Многочлены q(x) и r(x), удовлетворяющие этому условию, определяются однозначно.
Если разности f(x)-r(x) и 
обе делятся наg(x), то их разность 
также делится наg(x). Если бы многочлен s(x) был ненулевым, то он имел бы степень меньшую, чем g(x), и не мог бы тогда делится наg(x). Следовательно, s(x)=0, так что
.В практической деятельности для нахождения частного и остатка применяют способ вычисления, называемый «деление углом». Покажем его на примере.
Пример. Найти частный и остаток от деления
на .1.
и 
| 
Частным от деления
на является многочлен , остатком – .2.
и 
│ 
Частным от деления
на является многочлен , остатком – .Это правило в общем виде можно сформулировать так:
1) разделить старший член многочлена f(x) на старший член g(x) и записать результат «под длинной стороной угла»;
2)умножить g(x) на результат действия 1) и записать произведение под многочленомf(x);
3) вычесть из f(x) записанный под ним многочлен;
4) проверить имеет ли результат действия 3) степень меньшую, чем степень g(x); если да (или результат нулевой), то он является остатком, а под длинной стороной угла записано частное, если нет, то применить к этому результату действие 1), рассматривая его как многочленf(x).