Алгоритмы с многочленами (стр. 5 из 9)

. (2.5)

Можно считать при этом, если степени многочленов

и больше нуля, что степень меньше степени , а степень меньше степени .

Доказательство основано на равенствах (2.4). Если учтем, что

, и положим , , то предпоследнее из равенств (2.4) даст:

.

Подставляя сюда выражение

через и из предшествующего равенства (2.4), получим:

,

где

, . Продолжая подниматься вверх по равенствам (2.4), придем к доказываемому равенству (2.5).

Для доказательства второго утверждения теоремы предположим, что многочлены

и , удовлетворяющие равенству (2.5), уже найдены, но, например, степень больше или равна степени . Делим на :

,

где степень

меньше степени , и подставляем это выражение в (2). Получим равенство:

.

Степень множителя, стоящего при

, уже меньше степени . Степень многочлена, стоящего в квадратных скобках, будет в свою очередь меньше степени , так как в противном случае степень второго слагаемого левой части была бы не меньше степени , а так как степень первого слагаемого меньше степени этого произведения, то вся левая часть имела бы степень, большую или равную степени , тогда как многочлен заведомо имеет, при наших предположениях, меньшую степень.

Теорема доказана.

Одновременно получаем, что если многочлены

и имеют рациональные или действительные коэффициенты, то и многочлены и , удовлетворяющие равенству (2.5), можно подобрать так, что их коэффициенты будут рациональными или, соответственно действительными.

Применяя доказанную теорему к взаимно простым многочленам, получаем такой результат:

Многочлены

и тогда и только тогда взаимно просты, если можно найти многочлены

и

, удовлетворяющие равенству

. (2.6)

Опираясь на этот результат, можно доказать несколько простых, но важных теорем о взаимно простых многочленах:

Теорема 1. Если многочлен

взаимно прост с каждым из многочленов и , то он взаимно прост и с их произведением.

Доказательство. В самом деле, существуют, по (2.6), такие многочлены

и , что .

Умножая это равенство на

, получаем:

,

откуда следует, что всякий общий делитель

и был бы делителем и для ; однако по условию .

Теорема 2. Если произведениемногочленов

и делится на , но и взаимно просты, то делится на .

Доказательство. Умножая равенство

на , получим: .

Оба слагаемых левой части этого равенства делятся на

; на него делится, следовательно, и .

Теорема 3. Если многочлен

делится на каждый из многочленов и , которые между собой взаимно просты, то делится и на их произведение.

Доказательство. Действительно,

, так что произведение, стоящее справа, делится на . Поэтому, по теореме 2, делится на , , откуда .

Определение наибольшего общего делителя может быть распространен на случай любой конечной системы многочленов: наибольшим общим делителем многочленов

называется такой общий делитель этих многочленов, который делится на любой другой общий делитель этих многочленов. Существование наибольшего общего делителя для любой конечной системы многочленов вытекает из следующей теоремы, дающей также способ его вычисления.