Алгоритмы с многочленами (стр. 6 из 9)

Теорема. Наибольший общий делитель многочленов

равен наибольшему общему делителю многочлена и наибольшего общего делителя многочленов .

Доказательство. В самом деле, при

теорема очевидна. Примем поэтому, что для случая она справедлива, то есть, в частности, уже доказано существование наибольшего общего делителя многочленов . Обозначим через наибольший общий делитель многочленов и . Он будет общим делителем для всех заданных многочленов. С другой стороны, всякий другой общий делитель этих многочленов будет делителем также и для , а поэтому и для .

В частности, система многочленов

называется взаимно простой, если общими делителями этих многочленов являются лишь многочлены нулевой степени, то есть если их наибольший общий делитель равен 1. Если , то попарно эти многочлены могут и не быть взаимно простыми.

3. Кратные корни

Теорема Безу. Многочлен f(x) делится на x-c тогда и только тогда, когда число c является его корнем.

Рассмотрим произвольный многочлен f(x) и разделим его с остатком на двучлен x-c. Поскольку степень этого двучлена равна 1, то остаток либо равен 0, либо имеет степень 0. И в том, и в другом случае остаток rесть число. Таким образом, многочлен f(x) представляется в виде:

f(x)= (x-c) q(x)+ r.

Положив в этом тождестве x= c, получим что f(c)=r. Мы доказали тем самым, что остаток от деления многочлена на двучленx- cравен значению многочлена приx=c.

С помощью теоремы Безу решим несколько задач.

Пример 1. Решить уравнение

.

Многочлен f(x)=

имеет корень 2. По теореме Безу f(x) делится на x-2, то есть имеет место равенство

.

|

Остается решить квадратное уравнение

.

Это уравнение не имеет действительных корней, так что x=2 – единственный действительный корень исходного уравнения.

2. Решить уравнение

.

Многочлен f(x)=

имеет корень -2. По теореме Безу f(x) делится на x+2, то есть имеет место равенство .

|

0

Остается решить квадратное уравнение

.

Это уравнение имеет корень 1. Так что x=-2 и x=1 – корни исходного уравнения.

Если c – корень многочлена f(x), то есть f(c)=0, то f(x) делится на x-c. Может оказаться, что многочлен f(x) делится не только на первую степень линейного двучлена x-c, но и на более высокие его степени. Во всяком случае, найдется такое натуральное число k, что f(x) нацело делится на

, но не делится на . Поэтому

,

где многочлен

на x-cуже не делится, то есть число с своим корнем не имеет. Числоk называется кратностью корня cв многочлене f(x), а сам корень c–k- кратным корнем этого многочлена. Если k=1, то говорят, что корень с – простой.

4. Производная от многочлена

Понятие кратного корня тесно связано с понятием производной от многочлена. Мы изучаем многочлены с любыми комплексными коэффициентами и поэтому не можем просто воспользоваться понятием производной, введенным в курсе математического анализа. То, что будет сказано ниже, следует рассматривать как независимое от курса анализа определение производной многочлена.

Пусть дан многочлен n–ной степени

f(x)=

с любыми комплексными коэффициентами. Его производной (первой производной) называется многочлен (n- 1)-й степени

Производная от многочлена нулевой степени и от нуля считается равной нулю. Производная от первой производной называется второй производной от многочлена f(x) и обозначается через f“(x) . Очевидно, что

и по этому

, то есть (n+1)-я производная от многочлена n–й степени равна нулю.

Свойства, являющиеся формулами дифференцирования для суммы и произведения:

1.

(4.1)

2.

(4.2)

Эти формулы легко проверить, впрочем, непосредственным подсчетом, беря в качестве и два произвольных многочлена и применяя данное выше определение производной.

Формула (4.2) распространяется на случай произведения любого конечногочисла множителей, а поэтому выводится формула для производной от степени:

3.

(4.3)

Доказательство. Используем метод математической индукции.

.

Если число с является k –кратным корнем многочлена f(x), то при k>1 оно будет (k-1)–кратным корнем первой производной этого многочлена; если же k=1 , то с не будет служить корнем для

.

В самом деле, пусть

,

, (4.4)

где

уже не делится на х-с. Дифференцируя равенство (4.4), получаем: