Смекни!
smekni.com

Алгоритмы с многочленами (стр. 7 из 9)

.

Первое слагаемое суммы делится на х-с, а второе на х-с не делится; поэтому вся эта сумма на х-с не может делиться. Учитывая, что частное от деления f(x) на

определено однозначно, мы получаем, что
является наибольшей степенью двучлена х-с, на которую делится многочлен

.

Применяя эту теорему несколько раз, мы получаем, что k-кратный корень многочлена f(x) будет (k-s)-кратным в s-й производной этого многочлена

и впервые не будет служить корнем для k-й производной от f(x).

Пример. Найти производную

многочлена
.

.

Я составила программу для нахождения первой производной многочлена.

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, Grids;

type

TForm1 = class(TForm)

Edit1: TEdit;

Label1: TLabel;

SGd1: TStringGrid;

Label2: TLabel;

Button1: TButton;

Edit2: TEdit;

Edit3: TEdit;

Label3: TLabel;

Label4: TLabel;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

c,i,st:integer;

k,l,s:string;

kof:array[0..100] of integer;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

st:=StrToInt(Edit1.Text);

for i:=0 to st do begin

if SGd1.Cells[i,0]<>'' then

kof[st-i]:=StrToInt(SGd1.Cells[i,0])

elseMessageDlg ('Внимание! Не введены значения коэффициентов!',mtWarning,[mbOK],0);

end;

s:='f(x)=';

for i:=st downto 0 do begin

if kof[i]<>0 then begin

if(kof[i-1]<0)or(i=0) then begin

str(kof[i],l);

str(i,k);

s:=s+l+'x^'+k;

end

else begin

str(kof[i],l);

str(i,k);

s:=s+l+'x^'+k+'+';

end;

end;

kof[i]:=kof[i]*i;

end;

Edit2.Text:=s;

s:='f1(x)=';

for i:=st downto 0 do begin

if kof[i]<>0 then begin

if(kof[i-1]<0)or(i=1) then begin

str(kof[i],l);

str(i-1,k);

s:=s+l+'x^'+k;

end

else begin

str(kof[i],l);

str(i-1,k);

s:=s+l+'x^'+k+'+';

end;

end;

Edit3.Text:=s;

end;

end;

end.


5. Кратные множители

Существуют методы, позволяющие узнать, обладает ли данный многочлен кратными множителями, и в случае положительного ответа дающие возможность свести изучение этого многочлена к изучению многочленов, уже не содержащих кратных множителей.

Теорема. Если

является
- кратным неприводимым множителем многочлена
,
, то он будет
- кратным множителем производной этого многочлена. В частности, простой множитель многочлена. Не входит в разложение производной.

В самом деле, пусть

, (5.1)

причем

уже не делится на
. Дифференцируя равенство (5.1), получаем:

.

Второе из слагаемых, стоящих в скобках, не делится на

. Действительно,
не делится
по условию,
имеет меньшую степень, т.е. также не делится на
. С другой стороны, первое слагаемое суммы, стоящей в квадратных скобках, делиться на
, т.е. множитель
, на самом деле входит в
с кратностью
.

Из данной теоремы и из указанного выше способа разыскания наибольшего общего делителя двух многочленов следует, что если дано разложение многочлена

на неприводимые множители:

, (5.2)

то наибольший общий делитель многочлена

и его производной обладает следующим разложением на неприводимые множители:

, (5.3)

где множитель

следует при
заменять единицей. В частности, многочлен
тогда и только тогда не содержит кратных множителей, если он взаимно прост со своей производной.

5.1. Выделение кратных множителей

Если дан многочлен

с разложением (5.2) и если через
мы обозначим наибольший общий делитель
и его производной
то (5.3) будет разложением для
. Деля (5.2) на (5.3), мы получим:

т.е. получим многочлен, не содержащий кратных множителей, причем всякий неприводимый множитель для

, имеющего вообще говоря, меньшую степень и, во всяком случае, содержащего лишь простые множители. Если эта задача для
будет решена, то останется определить лишь кратность найденных неприводимых множителей в
, что достигается применением алгоритма деления.

Усложняя изложенный сейчас метод, можно сразу перейти к рассмотрению нескольких многочленов без кратных множителей, причем, найдя неприводимые множители этих многочленов, мы не только найдем все неприводимые множители для

, но и будем знать их кратность.

Пусть (5.2) будет разложением

на неприводимые множители, причем наивысшая кратность множителей есть
,
. Обозначим через
произведение всех однократных множителей многочлена
, через
- произведение всех двукратных множителей, но взятых лишь по одному разу, и т.д., наконец
- произведение всех
-кратных множителей, также взятых лишь по одному разу; если при этом для некоторого
в
отсутствуют
-кратные множители, то полагаем
. Тогда
будет делиться на
- тую степень многочлена
и разложение (5.2) примет вид

а разложение (5.3) для

перепишется в виде

обозначая через

наибольший общий делитель многочлена
и его производной и вообще через
наибольший общий делитель многочленов
и
, таким путем получим: