Целью данной работы является изучение многочленов, алгоритмов с ними, рассмотрение возможностей составления различных программ. Для достижения поставленной цели необходимо рассмотреть следующие вопросы:

– делимость многочленов;

– деление многочленов с остатком;

– наибольший общий делитель, алгоритм Евклида;

– кратные корни;

– кратные множители, выделение кратных множителей;

– производные от многочленов.

Для выполнения дипломной работы я поставила следующие задачи:

1. изучить литературу о многочленах;

2. применить теорию высшей алгебры в решении задач элементарной математики;

3. составить программы для нахождения частного и остатка при делении многочленов, наибольшего общего делителя двух многочленов, производной многочлена; разложения многочленов на кратные множители.

1. Многочлены

Общий вид уравнения n-ной степени (где n некоторое положительное число) есть

. (1.1)

Коэффициенты

этого уравнения мы будем считать произвольными комплексными числами, причем старший коэффициент

должен быть отличным от нуля.

Если написано уравнение (1.1), то всегда предполагается, что требуется его решить, найти такие числовые значения для неизвестного x, которые удовлетворяют этому уравнению, то есть после подстановки вместо неизвестного и выполнения всех указанных операций обращают левую часть уравнения (1.1) в нуль.

Целесообразно заменить задачу решения уравнения (1.1) более общей задачей изучения левой части этого уравнения

, (1.2)

называемой многочленом n-ной степени от неизвестного х. Многочленом называется лишь выражение вида (1.2), то есть лишь сумма целых неотрицательных степеней неизвестного x, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами. В частности, мы не будем считать многочленами такие выражения, которые содержат неизвестное x с отрицательными или дробными показателями. Для сокращенной записи многочленов употребляются символы f(x), g(x) и так далее.

2. Деление многочленов

Теория многочленов в определенном отношении похожа на теорию целых чисел, хотя внешне эти две теории не имеют ничего общего. Внутренняя же близость, схожесть этих теорий объясняется тем, что для многочленов, так же как и для целых чисел, можно определить деление и, что еще более важно, деление с остатком.

2.1. Делимость многочленов. Свойства делимости

Многочлен

делится на многочлен
, если существует такой многочлен
, что выполняется равенство

(2.1)

Например, из равенства

следует, что

делится на многочлен

и на многочлен

Многочлен

в равенстве (2.1) определяется однозначно. Если бы существовал многочлен

, удовлетворяющий равенству (2.1), то мы получили бы, что

(2.2)

откуда

Но многочлен

по условию ненулевой, и в силу утверждения

или

нулевом является многочлен

, т.е. многочлен

совпадает с

Многочлен

в равенстве (2.1) называется частным от деления

на

, а

– делителем.

Укажем некоторые основные свойства делимости многочленов.

1. Если

делится

, а

делится на

, то

будет делиться на

В самом деле, по условию

, а поэтому

2. Если

делятся на

, то их сумма и разность также делятся на

Из равенств

вытекает

3.Если

делится на

, то произведение

на любой многочлен

также будет делиться на

Если

, то

Из 2. и 3. вытекает следующее свойство:

4. Если каждый из многочленов

делится на

, то на

будет делиться и многочлен

, где

- произвольные многочлены.

5. Всякий многочлен

делится на любой многочлен нулевой степени.

Если

, а с - произвольное число, не равное нулю, то есть произвольный многочлен нулевой степени, то

6. Если

делится на

, то

делится и на с

, где с – произвольное число отличное от нуля.

Алгоритмы с многочленами (стр. 1 из 9)

1. Многочлены

2. Деление многочленов

2.1. Делимость многочленов. Свойства делимости