Решение задачи Дирихле методом Монте-Карло (стр. 2 из 8)
Доказательство. Пусть
– максимум значений 
на границе 
. Допустим, что функция в некоторой точке 
внутри 
принимает значение 
, причем 
.Составим вспомогательную функцию
,где
– диаметр области . Очевидно, имеем 
,причем при
выполняется неравенство 
.Следовательно, функция
достигает своего наибольшего значения внутри области в некоторой точке 
, причем в этой точке будут выполнены необходимые условия для максимума функции: 
.Из соотношения
вытекает, что по крайней мере одна из производных
или 
положительна внутри . Поэтому функция ни в какой конкретной точке области не может иметь максимума, и, следовательно, приходим к противоречию. Таким образом, 
.Аналогично доказывается, что
, где 
– наименьшее значение функции на границе .Следствие. Пусть функция
– гармоническая в ограниченной области и непрерывная в замкнутой области 
. В таком случае справедливо равенство 
,где
на , 
на .Замечание. Можно доказать более сильное утверждение, что гармоническая в ограниченной и замкнутой области
функция, отличная от константы, не принимает внутри наибольшего и наименьшего значений.Свойство II (единственность решения задачи Дирихле). Задача Дирихле для замкнутой и ограниченной области может иметь лишь единственное решение, т. е. не существует двух непрерывных гармонических функций в замкнутой ограниченной области
, принимающих, на границе одни и те же значения.Доказательство. Допустим, что две функции
и 
гармонические в области , совпадают всюду на ее границе. Рассмотрим функцию 
.Очевидно, что на
– гармоническая функция, обращающаяся в нуль на границе. По свойству I эта функция не может принимать внутри значений больше или меньше нуля, следовательно, 
внутри и 
.Замечание. Из свойства II не следует, что задача Дирихле для ограниченной замкнутой области
имеет решение; это свойство лишь утверждает, что если существует решение задачи Дирихле для области , то оно единственно.Можно доказать, что если область
выпуклая, т. е. вместе с двумя своими точками содержит соединяющий их отрезок, и граница ее действительно имеет решение (теорем Неймана).Свойство III (корректность задачи Дирихле). Решение задачи Дирихле для замкнутой и ограниченной области непрерывно зависит от граничных данных.
Доказательство. Допустим, что
и – решения задачи Дирихле, соответственно принимающее на границе значение 
и 
.Пусть всюду на
выполнено неравенство 
,где
– произвольное малое положительное число.Рассмотрим гармоническую функцию
.На границе
эта функция принимает значение 
.Так как
на , то по свойству I имеем 
при 
,т. е.
или 
.Таким образом, для задачи Дирихле требование корректности выполнено при
.2.2 Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
Идея метода сеток (или, иначе, метода конечных разностей) для приближенного решения краевых задач для двумерных дифференциальных уравнений заключается в следующем:
1. в плоскостной задаче
, в которой разыскивается решение, строится сеточная область 
, состоящая из одинаковых ячеек (рис. 1, Приложение А) и приближающая данную область ;2. заданное дифференциальное уравнение заменяется в узлах построенной сетки соответствующим конечно-разностным уравнением;
3. на основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах области
.Решив полученную систему конечно-разностных уравнений, для чего, вообще говоря, нужно решить алгебраическую систему с большим числом неизвестных, мы найдем значения искомой функции в узлах сетки, т. е. будем иметь численное решение задачи.