Решение задачи Дирихле методом Монте-Карло (стр. 4 из 8)

(4)

для всех узлов сетки

. В силу неравенства (4) будем иметь

. (5)

На основании системы (2) получаем

. (6)

Учитывая неравенство (4), заключаем, что

.

Ни одно из последних четырех неравенств не является строгим, так как если бы это имело место, то, складывая все четыре неравенства и учитывая формулу (6), мы получили бы

.

Поэтому

. (7)

Проводя аналогичные рассуждения для точек

сетки с ближайшей точкой , где положено

.

Таим образом, из цепи равенств (7) имеем

, что противоречит неравенству (5).

Так, однородная система (2) не может иметь положительных решений. Аналогично доказывается, что эта система не может иметь отрицательных решений. Следовательно,

для каждого решения, и, значит, неоднородная система (2) совместна и имеет единственное решение.

Решив систему (2), получим приближенные значения искомой функции

в узлах сеточной области . Тем самым будет найдено приближенное численное решение задачи Дирихле для области . Можно показать, что в общем случае погрешность приближенного решения имеет порядок .

2.3 Понятие о решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом Монте-Карло

Пусть на плоскости

дана область с кусочно-гладкой границей . В области построим квадратную сетку с шагом :

, (1)

Мы предполагаем, что сетка

состоит из внутренних узлов и граничных узлов первого рода. Граничные узлы сетки образуют ее границу . Грубо говоря, граница представляет собой линейный ряд точек , аппроксимирующий криво-криволинейную границу области с точностью до .

Представим себе частицу

, которая совершает равномерное случайное блуждание по узлам сетки (1). А именно, находясь во внутреннем узле сетки , эта частица за один переход с одной и той же вероятностью, равной 1/4, может переместиться в один из четырех соседних узлов: или в (шаг влево), или в (шаг вправо), или в (шаг вниз), или в (шаг вверх), причем каждый такой единичный переход совершенно случаен и не зависит от положения частицы и ее прошлой истории. Будем считать, что блуждание частицы заканчивается, как только эта частица попадет на границу ; в этом смысле граница представляет собой «поглощающий экран». Можно доказать, что с вероятностью, равной 1, блуждание точки через конечное число шагов заканчивается на границе.

Если частица

начала свое блуждание с фиксированной внутренней точки сетки , то конечная совокупность последовательных положений этой частицы: где и , называется траекторией частицы (с шагами) или историей блуждания.

Равномерное случайное блуждание частицы на плоскости можно организовать с помощью равномерно распределенной последовательности одноразрядных случайных чисел, принимающих значения

. Для этого, например, достаточно производить розыгрыш, т. е. случайную выборку из чисел , придерживаясь инструкции, указанной в таблице 1 (Приложение B); причем числа 8 и 9 переигрываются.

Случайные числа берутся из готовых таблиц или вырабатываются электронной машиной. Последний способ при работе на счетной машине предпочтительнее, так как он позволяет не загружать сильно память машины.

Пусть в точках границы Г области G определена некоторая функция

. Перенесем эти значения на границу сетки . Например, для каждого граничного узла определим ближайшую по горизонтали (или вертикали) точку и положим

.

Для краткости введем обозначение

.

Пусть

– вероятность того, что траектория частицы, вышедшей из узла сетки , закончится в граничном узле . Так как блуждание точки неизбежно заканчивается на границе в первой же точке выхода ее на границу, то

, (2)

где суммирование распространяется на все точки

границы , причем

(3)

где

– граничный узел.

Составим сумму

, (4)

где точка

пробегает всю границу . Если функцию рассматривать как случайную величину, принимающую значения на границе , то сумма (4) представляет собой математическое ожидание (среднее значение) функции на границе для траекторий, начинающихся в точке («премия за выход на границу» из начальной точки ). Частица, начавшая свое случайное блуждание из внутреннего узла , после первого шага с вероятностью, равной 1/4, попадает в один из четырех соседних узлов. Поэтому случайные блуждания, начинающиеся в узле , в зависимости от вида траекторий распадаются на четыре категории новых случайных блужданий: