Решение задачи Дирихле методом Монте-Карло (стр. 5 из 8)

По формуле полной вероятности имеем

(5)

Отсюда, умножая обе части равенства (5) на граничные значения

и суммируя по всем возможным значениям и , на основании формулы (4) получим

. (6)

Кроме того, в силу формулы (3) имеем

, (7)

если точка

.

Рассмотрим теперь задачу Дирихле об отыскании функции

, гармонической области и принимающей на ее границе заданные непрерывные значения . Согласно методу сеток эта задача сводится к нахождению значений искомой функции во внутренних узлах некоторой сетки при условии, что значения в граничных узлах известны и равны . Неизвестные определяются из системы линейных уравнений

(8)

Сравнивая формулы (8) с формулами (6), (7), мы усматриваем, что они совпадают с точностью до обозначений. Следовательно, искомые неизвестные

можно рассматривать как математические ожидания . Величины допускают экспериментальное определение. Рассмотрим достаточно большое число равномерных случайных блужданий частицы по узлам сетки , исходящих из фиксированного узла и заканчивающихся на границе . Пусть соответствующие точки выхода частицы на границу . Заменяя математическое ожидание эмпирическим математическим ожиданием, будем иметь

. (9)

Формула (9) дает статистическую оценку величины

и может быть применена для приближенного решения задачи Дирихле. Метод решения задач, основанный на использовании случайных величин, получил общее название метода Монте-Карло.

Заметим, что с помощью формулы (9) можно непосредственно найти приближенное значение

решения задачи Дирихле в единственной фиксированной точке сетки , не зная решения задачи для остальных точек сетки. Этим обстоятельством метод Монте-Карло для задачи Дирихле резко отличается от обычных стандартных способов решения этой задачи.

Интересно отметить, что вероятность

, в силу формулы (4), представляет собой аналог функции Грина для задачи Дирихле в области . Эта величина может быть найдена экспериментально на основании формулы (9), если задать следующие граничные условия:

.

Построив такую функцию Грина, мы получаем возможность, применяя формулу (9), просто

находить приближенное решение задачи Дирихле для области

данной границей при любых граничных значениях .

Недостатком рассмотренного варианта метода Монте-Карло для задачи Дирихле является слабая сходимость по вероятности при

эмпирического математического ожидания

к математическому ожиданию

. Чтобы устранить это неблагоприятное обстоятельство, используют различные модификации случайных блужданий. Кроме того, при решении задачи полезно учитывать также, что блуждание частицы , начинающееся в точке

автоматически является случайным блужданием частицы, начинающимся в любой промежуточной точке траектории этой частицы.

2.4 Метод «блуждания» по сферам

Укажем другой метод Монте-Карло для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа, не связанный с разностными уравнениями. Пусть задана ограниченная связная область

и точка . Определим случайную траекторию следующим образом: положим ; далее, если точка известна, то построим окружность произвольного радиуса , расположенную внутри , и на этой окружности выберем случайную точку (рис. 2, Приложение C).

Таким образом,

, где , и угол равномерно распределен в интервале .

Приведем теорему: если функция

удовлетворяет в области уравнению Лапласа

, (1)

то при каждом

и при любых математическое ожидание равно значению в начале траектории.