Решение задачи Дирихле методом Монте-Карло (стр. 7 из 8)

. (2)

Задачу об отыскании решения уравнения

(3)

удовлетворяющего граничному условию, называют задачей Дирихле для уравнения Пуассона.
Для приближенного решения этой задачи выбирают на плоскости достаточно мелкую квадратную сетку

с шагом (рис.1, Приложение А). Координаты узлов этой сетки пусть будут , а значения для краткости обозначим и . Узел называют внутренним, если и он, и все четыре соседних с ним узла принадлежат , в противном случае узел , принадлежащей называют граничным.

Во внутреннем узле

уравнение заменим разностным

(4)

которое перепишем в виде

(5)

В граничных узлах

. (6)

Решение алгебраической системы при

приближается к решению задачи Дирихле для уравнения (1).

Перенумеруем все узлы, принадлежащие

(в произвольном порядке), и перепишем в том же порядке уравнения (3), (4). Тогда получим систему вида

(7)

Матрица этой системы имеет следующую структуру: внутреннему узлу с номером

отвечает строка , в котором четыре элемента равны ¼, а остальные – нули; граничному узлу с номером отвечает строка ; все диагональные элементы =0. (Все собственные значения такой матрицы по абсолютной величине меньше единицы.) Свободные члены этой системы , если узел внутренний, и , если узел граничный.

Один из методов решения системы (5) является метод Монте-Карло. Построим данный метод для расчета

- значения решения в одном заранее заданном узле. Выберем матрицу переходов

Здесь

– символ Кронекера: .

Далее строим следующую цепь:

1)

2) если узел

внутренний, то с одинаковой вероятностью ¼ выбираем в качестве номер одного из соседних с ним узлов;

3) если узел

граничный, то цепь останавливается: . Рассчитываем вес вдоль цепи по правилу: пока цепь не попала на границу, далее . Вычисляем случайную величину по формуле

, (8)

где – номер первого выхода цепи на границу.

В формуле (6) все

вычисляются по формуле и лишь последнее равно значению .

Замечание. Если вместо граничных условий (2) заданы более сложные условия, например:

,

то уравнения (6) наряду с

будут содержать также значения в некоторых узлах. И случайная цепь, попав на границу, останавливаться не будет.

Если количество цепей достаточно велико, то решение задачи Дирихле в узле определяется по формуле

. (9)

4. Прикладное применение метода Монте-Карло с использованием метода сеток для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа

Пусть

– решение уравнения Лапласа в единичном квадрате , удовлетворяющее граничным условиям . Вычислить значение .

Выберем в квадрате сетку с шагом

и перенумеруем узлы (рис. (4), Приложение Е). Для уравнения Лапласа формула (8) все более упрощается: , так что равно значению в том узле, в котором цепь попадает на границу. Возле каждого граничного узла на рис. (4) (Приложение Е) проставлено значение для данного примера.

Для построения цепей необходимо воспользоваться таблицей случайных цифр (таблица 1, Приложение В).

Если случайная цифра

окажется 0 или 4, то будем перемещаться в соседний узел справа, если окажется 1 или 5, то будем перемещаться влево, окажется 2 или 6, то перемещаться вверх, если окажется 3 или 7, то перемещаться вниз; значения , равные 8 или 9, опускаем.

В таблице 2 (Приложение F) приведены 16 случайных цепей. В первой строке записаны использованные случайные цифры, а в третьей – сама цепь (номера

). Соответствующие этим цепям значения равны . Среднее арифметическое этих величин дает нам приближенное значение решения в точке :

.

Из эмпирической оценки дисперсии

следует, что вероятная ошибка

.

Точное решение рассмотренной задачи

, так что , и фактическая ошибка расчета равна 0,08.