Теорема Ферма Бесконечный спуск для нечетных показателей n (стр. 1 из 2)

Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей n.

Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя nтем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.

Ферма (потом Эйлер) доказывали эту теорему для частного случая n = 4 способом бесконечного спуска с помощью формул древних индусов: x= a

- b
, y=2ab, z= a
+ b
.

Другие формулы:x =

+ b, y =

+ a, z =

+ a + b (1).

В (1) a и bлюбые взаимно простые положительные целые числа, одно из них – чётное, другое – нечётное. Пусть a– чётное, b – нечётное: a=2c

, b=d
, откуда

=2cd.

После подстановки значений a и b в (1) получим:

X = d(2c+d); Y= 2c(c+d); Z= 2c(c+d)+ d

(2),

где c и dлюбые целые положительные числа;c,dи их суммывзаимно просты;

X,Y,Z– взаимно простые тройки решений уравнения Пифагора. Если определены и целы c и d, то определены и целы все три числа X,Y,Z.

Предположим, что уравнение Ферма x

+ y

= z

имеет тройку целых положительных решений x,y,zпри нечётном целом положительном значении показателя n, n>2. Запишем это уравнение следующим образом:

)
+ (y
)
= (z
)
(4).

Так как рассматривается возможность существования целых решений уравнений Ферма и (4) , то должно выполняться следующее условие:

= X; y
= Y; z
= Z; где X,Y,Z из (2) (5).

Чтобы числаx,y,z были целыми, из всех трёх чисел X,Y,Z должны извлекаться целочисленные корни степени n(n – нечётное положительное целое число):

x =

= (

)

; y =
= (
)
; z =
.

Для упрощения достаточно рассмотреть два целых числа

и
(n – нечётное):

=
=

и
=
=

Подкоренные выражения содержат сомножители не имеющие общих делителей, кроме 1, поэтому каждый сомножитель должен являться целым числом в степени n:

d = g

; 2 c = h
, следовательно,

=
;
=
.

Так как x,

– целые, x – по условию, а

– из-за нечётн. n, то g
+ h
= k
, где k – целое.

Тройка решений g,h,kудовлетворяет уравнению Ферма, но все три числа меньше числа x первой тройки решений, потому что наибольшее число kиз g,h,kменьше

, так как

=g
, а

<x, так как x=(
)
. Число kзаведомо меньше числа z.

Повторим те же рассуждения для второй тройки решений g,h,k, начиная с (4):

)
+ (h
)
= (k
)
; g =
=(

)

; h =
=(

)

; k =
.

=
=

d = p

; 2 c = q
, следовательно,
=
;
=
.

+ q
= r
, где r – целое число. Все три числа p,q,rменьше числа
из второй тройкирешений и r<k. Таким же образом получается 4-я тройка решений, 5-я и т.д. до