Понятие и сущность науки высшая математика (стр. 2 из 3)

Уравнение пучка прямых с центром в точке А(x₁, y₁) имеет вид:

y-y₁ = l(x-x₁ ),

где l - параметр пучка. Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми A₁x + B₁y + C₁= 0, A₂ x + B₂ y + C₂ = 0, то его уравнение имеет вид:

l (A₁ x + B₁ y + C₁) + m (A₂ x + B₂ y + C₂ )=0,

где l и m - параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.

Величина угла между прямыми y = kx + b и y = k₁ x + b₁ задается формулой:

tg j =

.

Равенство 1 + k₁ k = 0 есть необходимое условие перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

A₁ x + B₁ y + C₁= 0,

A₂ x + B₂ y + C₂ = 0,

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C_2.

Уравнения задают две различные параллельные прямые, если A₁/A₂= B₁/B₂ и B₁/B₂ ¹C₁/C_2; прямые пересекаются, если A₁/A₂ ¹ B₁/B₂.

Расстояние d от точки M_о (x_о, y_о) до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки M_о к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то d = êr_о n^о - р ê, где r_о - радиус-вектор точки M_о или, в координатной форме, d = êx_о cosa + y_о sina - рê.

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁x +2a₂y +a = 0.

Предполагается, что среди коэффициентов a₁₁, a₁₂, a₂₂есть отличные от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке С (a, b) и радиусом, равным R:

(x - a)² + (y - b)² = R².

2 Прямая в пространстве

2.1 Уравнение прямой в пространстве

Рассмотрим произвольную прямую, обозначим ее буквой а. Обозначим через П₁и П₂ какие-нибудь две различные плоскости, пересекающиеся по прямой а и предположим, что уравнения этих плоскостей будут: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0. Так как прямая а представляет собой пересечение плоскостей П₁и П₂, то она определяется совместным заданием двух уравнением:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0,

A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

Поставим задачу: всегда ли два уравнения первой степени совместно определяют некоторую прямую? Очевидно, это будет только в том случае, когда соответствующие им плоскости не параллельны и не совпадают друг с другом, т.е. когда нормальные векторы этих плоскостей N₁ = {A₁, B₁, C₁} и N₂ = {A₂, B₂, C₂} не коллинеарны. Эти два уравнения совместно определяют прямую только в том случае, когда коэффициенты A₁, B₁, C₁ одного из них не пропорциональны коэффициентам A₂, B₂, C₂ другого.

2.2 Геометрическое истолкование двух уравнений между координатами в пространстве

Пусть имеем два уравнения с тремя переменными

f₁(x, y, z) = 0 и f₂(x, y, z) = 0.

Каждое из них определяет некоторую поверхность. Множество точек, общих обеим поверхностям, есть некоторая линия.

Пример. Уравнения x² + y² = R² и z = a, радиуса R с центром на оси Ozв точке (0; 0; a). Заметим, что эту же линию можно задать параметрически тремя уравнениями x = Rcos φ, y = Rsin φ, z = a.

В общем случае параметрические уравнения линии имеют вид:

x = x(t), y = y(t), z = z(t).

2.3 Направляющий вектор прямой

Рассмотрим произвольную прямую. Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором данной прямой. Указанные векторы называются направляющими именно потому, что любой из них, будучи задан, определяет направление прямой.

Направляющий вектор прямой будем обозначать буквой l, его координаты – m, n, p:

l = {m; n; p}.

2.4 Каноническое уравнение прямой

Пусть дана точка M₀ (x₀; y₀; z₀) и ненулевой вектор s (m; p; q). Требуется составить уравнение прямой l, проходящей через точку M₀ и параллельной вектору s (этот вектор называют направляющим вектором прямой). Для этого заметим, что точка M (x; y; z) лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы M₀M (x - x₀ ; y - y₀; z - z₀) и s (m; p; q) коллинеарны, т.е. тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны:

x– x_{0 =} y – y₀₌ z – z_0.

^mpq

Данные уравнения называются каноническими уравнениями прямой l.

Пример. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M₀ ( -2; -3; -1) и имеющей направляющий вектор s (3; 2; 4). Согласно равенствам имеем:

x + 2 ₌ y + 3 ₌ z + 1.

³²⁴

2.5 Параметрическое уравнения прямой в пространстве

Пусть прямая l задана каноническими уравнениями. Причем за параметр tкаждое из отношений. Так как один из знаменателей отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра tявляется вся числовая ось - ∞ < t < + ∞. Получим:

x – x₀ = mt, y – y₀ = pt, z – z₀ = qt,

или

x = x₀ + mt, y – y₀ + pt, z = z₀ + qt.

Данные уравнения и есть искомые параметрические уравнения прямой.

Пример. Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку M₀(2; -3; -7) и имеющей направляющий вектор s (4; -6; 5). Согласно равенствам имеем:

x = 2 + 4t, y = -3 – 6t, z = -7 + 5t.

2.6 Уравнение прямой по одной или двум точкам

Следующие две задачи имеют большое значение.

Задача 1. Даны точка M₀(x₀, y₀) и число m. Требуется провести через M₀прямую, имеющую m своим угловым коэффициентом.

Решение. Будем искать уравнение нужной нам прямой в форме

y = mx + b.

Это даст для b значение

b = y₀ – mx₀.

Подставляя это значение в уравнение, получаем уравнение искомой прямой

y = mx + y₀ – mx₀.

Обычно его записывают в виде

y – y₀ = m(x – x₀).

Пример. Провести через M₀(5, 2) прямую, перпендикулярную прямой

3x – 2y + 6 = 0.

Решение. Угловой коэффициент прямой равен 3/2. Поэтому (на основании условия перпендикулярности) угловой коэффициент m искомой прямой будет m = - 2/3. Значит, требуемое уравнение такого:

y – 2 = - 2/3 (x – 5)

или то же самое,

2x + 3y – 16 = 0.

Задача 2.Провести прямую через две заданные точки M₁ (x₁; y₁) и M₂ (x₂; y₂).

Решение. Обозначим через m(неизвестный) угловой коэффициент искомой прямой. Так как эта прямая проведена через точку M₁ (x₁; y₁), то ее уравнение должно иметь вид

y – y₁ = m(x – x₁).

Для нахождения m используем то, что наша прямая проходит и через M₂ (x₂; y₂) и, стало быть, числа x₂ y₂должны удовлетворять уравнению, т.е.

y_{2 –} y₁ = m (x₂ – x₁),

откуда

.

Задача решена.

Если y₁ = y₂, то уравнение искомой прямой имеет вид y = y₁. В этом случае прямая параллельна оси Оx. Если x₁ = x₂, то прямая, проходящая через точки M₁и M₂, параллельна оси Oy, и ее уравнение имеет вид x = x₁.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки M₁ (3; 1) и M₂ (5; 4). Подставляя координаты точек M₁ и M₂ в уравнение, получаем искомое уравнение прямой: