Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процес (стр. 2 из 7)
Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.
В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f (x). Таким образом, должно быть
(3’)Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией
. Таким образом, должно быть 
(3’’)Условия (3’) и (3’’) являются начальными условиями.
Замечание. В частности, может быть
или 
. Если же и , то струна будет находится в покое, следовательно, 
.1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах.
Как указывалось выше, к уравнению (1) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах. Электрический ток в проводе характеризуется величиной i (x, t) и напряжением v (x, t), которые зависят от координаты x точки провода и от времени t. Рассматривая элемент провода
, можем написать, что падение напряжения на элементе равно 
. Это падение напряжения складывается из омического, равного 
, и индуктивного, равного 
. Итак, 
(4)где R и L – сопротивление и коэффициент индуктивности, рассчитанные на единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении, обратном возрастанию v. Сокращая на
, получаем уравнение 
(5)Далее, разность токов, выходящего из элемента
и входящего в него за время 
, будет 
Она расходуется на зарядку элемента, равную
, и на утечку через боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции, равную 
(здесь А – коэффициент утечки). Приравнивая эти выражения и сокращая на 
, получим уравнение 
(6)Уравнения (5) и (6)принято называть телеграфными уравнениями.
Из системы уравнений (5) и (6) можно получить уравнение, содержащее только искомую функцию i (x, t), и уравнение, содержащее только искомую функцию v (x, t). Продифференцируем члены уравнения (6) по x; члены уравнения (5) продифференцируем по t и умножим их на С. Произведя вычитание, получим:
Подставляя в последнее уравнение выражение
из уравнения (5), получим: 
или
(7)Аналогичным образом получается уравнение для определения v (x, t):
(8)Если пренебречь утечкой через изоляцию
и сопротивлением 
, то уравнения (7) и (8) переходят в волновые уравнения: 
где обозначено:
. Исходя из физических условий, формулируют граничные и начальные условия задачи.§1.2. Метод разделения переменных.
1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны.
Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Итак, будем искать решение уравнения
удовлетворяющее однородным граничным условиям
(9)и начальным условиям
(10)Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение.
Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения
не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям
(11)и представимое в виде произведения
(12)
где X (x) – функция только переменного x, T (t) – функция только переменного t.
Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим:
или, после деления на XT,
(13)Чтобы функция (12) была решением уравнения (1), равенство (13) должно удовлетворяться тождественно, т. е. 0 ‹ х ‹
, t › 0. Правая часть равенства (13) является функцией только переменного t, а левая – только х. Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части равенства (13) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение 
(14)где
– постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.Из соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X (x) и T (t)
(15) 
(16)Граничные условия (11) дают:
Отсюда следует, что функция X (x) должна удовлетворять дополнительным условиям:
X(0) = X(
) = 0, (17)Так как иначе мы имели бы
в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T (t) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет.
Таким образом, в связи с нахождением функции X (x) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях:
найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задачи:
(18)а также найти эти решения. Такие значения параметра
называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма – Лиувилля.Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр
отрицателен, равен нулю или положителен.1. При
‹ 0 задача не имеет нетривиальных решений. Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид