Граничные условия дают:
Х (0) = С1 + С2 = 0;
т. е.
Но в рассматриваемом случае
– действительно и положительно, так что . ПоэтомуС1 =0, С2 = 0
и, следовательно,
Х (х)
0.2. При
= 0 также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет видХ (х) = С1х + С2.
Граничные условия дают:
т. е. С1 = 0 и С2 = 0 и, следовательно,
Х (х)
0.3. При
› 0 общее решение уравнения может быть записано в видеГраничные условия дают:
Если Х(х) не равно тождественно нулю, то D2
0, поэтому (19)или
где n- любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях
Этим собственным значениям соответствуют собственные функции
где Dn – произвольная постоянная.
Итак, только при значениях
, равных (20)существуют нетривиальные решения задачи (11)
(21)определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям
n соответствуют решения уравнения (9) (22)где An и Bn – произвольные постоянные.
Возвращаясь к задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции
(23)являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (11) и представимыми в виде произведения (12) двух функций, одна из которых зависит только от х, другая – от t. Эти решения могут удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачи только для частных случаев начальных функций j(x) и y(x).
Обратимся к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений
(24)также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (9). Начальные условия позволяют определить An и Bn. Потребуем, чтобы функция (24) удовлетворяла условиям (10)
(25)Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция f(x), заданная в промежутке
, разлагается в ряд Фурье (26)где
(27)Если функции j(x) и y(x) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то
(28) (29)Сравнение этих рядов с формулами (25) показывает, что для выполнения начальных условий надо положить
(30)чем полностью определяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи.
Итак, мы доказали, что ряд (24), где коэффициенты An и Bn определены по формуле (30), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u (x, t), которая является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (9) и (10).
Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (24) представляет решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция
должна быть дважды дифференцируемой, а - один раз дифференцируемой.§2.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.
2.1.1. Уравнение распространения тепла в стержне.
Рассмотрим однородный стержень длины
. Будем предполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла в стержне.Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х = 0, а другой – с точкой х =
.Рис. 2.1.
Пусть u (x, t) – температура в сечении стержня с абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. е. количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой
(1)где S – площадь сечения рассматриваемого стержня, k – коэффициент теплопроводности.
Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х1 и х2 (х2 – х1 =
х). Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой х1 за время t, будет равно (2)то же самое с абсциссой х2:
(3)Приток
Q1 - Q2 в элемент стержня за время t будет равняться: (4)Этот приток тепла за время
t затратился на повышение температуры элемента стержня на величину u:или
(5)где с – теплоемкость вещества стержня,
– плотность вещества стержня ( xS – масса элемента стержня).Приравнивая выражения (4) и (5) одного и того же количества тепла
, получим: