Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процес (стр. 5 из 7)

найти ограниченное решение уравнения теплопроводности

(1)

удовлетворяющее условию

u (0, t) = A cos

t. (2)

Предполагается, что функции u (x, t) и m (t) ограничены всюду, т.е.

Запишем граничное условие в виде

(2’)

Из линейности уравнения теплопроводности следует, что действительная и мнимая части некоторого комплексного решения уравнения теплопроводности каждая в отдельности удовлетворяет тому же решению.

Если найдено решение уравнения теплопроводности, удовлетворяющее условию (2’), то его действительная часть удовлетворяет условию (2), а мнимая – условию

Итак, рассмотрим задачу:

(3)

Ее решение будем искать в виде

(4)

где

и - неопределенные пока постоянные.

Подставляя выражение (4) в уравнение (3) и граничное условие, находим:

,

откуда

Для u (x, t) имеем:

(5)

Действительная часть этого решения

(6)

удовлетворяет уравнению теплопроводности и граничному условию (2). Формула (6) в зависимости от выбора знака определяет не одну, а две функции. Однако только функция, соответствующая знаку минус, удовлетворяет требованию ограниченности. Таким образом, решение поставленной задачи получаем в виде

(7)

На основании полученного решения можно дать следующую характеристику процесса распространения температурной волны в почве. Если температура поверхности длительное время периодически меняется, то в почве также устанавливаются колебания температуры с тем же периодом, причем:

1.Амплитуда колебаний экспоненционально убывает с глубиной

,

т.е. если глубины растут в арифметической прогрессии, то амплитуды убывают в геометрической прогрессии (первый закон Фурье).

2. Температурные колебания в почве происходят со сдвигом фазы. Время

запаздывания максимумов (минимумов) температуры в почве от соответствующих моментов на поверхности пропорционально глубине

(второй закон Фурье).

3. Глубина проникновения тепла в почву зависит от периода колебаний температуры на поверхности. Относительное изменение температурной амплитуды равно

Эта формула показывает, что чем меньше период, тем меньше глубина проникновения температуры. Для температурных колебаний с периодами Т₁ и Т₂ глубины x₁ и x₂, на которых происходит одинаковое относительное изменение температуры, связаны соотношением

(третий закон Фурье). Так, например, сравнение суточных и годовых колебаний, для которых Т₂ = 365 Т₁, показывает, что

т.е. что глубина проникновения годовых колебаний при одинаковой амплитуде на поверхности была бы в 19,1 раза больше глубины проникновения суточных колебаний.

Следует, однако, иметь в виду, что изложенная здесь теория относится к распространению тепла в сухой почве или горных породах. Наличие влаги усложняет температурные явления в почве, при замерзании происходит выделение скрытой теплоты, не учитываемое этой теорией.

Температуропроводность является одной из характеристик тела, важных для изучения его физических свойств, а также для различных технических расчетов. На изучении распространения температурных волн в стержнях основан один из лабораторных методов определения температуропроводности.

Пусть на конце достаточно длинного стержня поддерживается периодическая температура

(t). Представив эту функцию в виде ряда Фурье

где Т – период, и взяв температурные волны, соответствующие каждому слагаемому, получим, что температура u (x, t) для любого x будет периодической функцией времени и ее n-я гармоника равна

или

Эта формула показывает, что если произвести измерение температуры в каких-нибудь двух точках, x₁ и x₂, за полный период, то, находя коэффициенты a_n (x₁), b_n (x₁), a_n (x₂), b_n (x₂) при помощи гармонического анализа, можно определить коэффициент температуропроводности стержня а².

Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.

§3.1. Дифракция излучения на сферической частице.

Перейдем теперь к рассмотрению задачи о дифракции электромагнитных волн на сферической частице. Как известно, в случае монохроматического излучения частоты

система уравнений Максвелла сводится к системе уравнений для напряженностей электрического и магнитного полей:

(1)

где

- волновое число для пустоты; с₀ – скорость света в вакууме. Обозначим через k = k₀ m – волновое число в среде с комплексным показателем преломления m = n – ix. Показатели преломления и поглощения (n и x) называются оптическими постоянными, их зависимость от w обычно известна из эксперимента.

Задача о разыскании шести неизвестных функций (

) может быть сведена к задаче о разыскании двух функций – электрического и магнитного потенциалов (U₁ и U₂), которые являются решениями колебательного уравнения. Получим их по методу Фурье в виде бесконечных сумм частных решений с неопределенными коэффициентами, которые определяются «сшиванием» значений внутри и снаружи сферы. Через найденные потенциалы составляющие полей легко вычисляются дифференцированием.

Пусть на сферическую частицу радиуса а, центр которой совмещен с началом координат, в отрицательном напрвлении оси Oz падает линейно поляризованная плоская волна (рис 4.). Ось Ox является направлением электрических колебаний, а ось Oy – магнитных. Электрическое и магнитное поля в падающей волне описываются формулами:

(2)

где k_a = m_ak₀ – величина волнового вектора падающего излучения во внешней среде с вещественным показателем преломления m_a.

Рис. 3.1. Сферическая система координат для изучения

дифракции света на шаре.

В дальнейшем в промежуточных формулах всюду будет опущен множитель Е₀, который будет внесен в окончательные выражения для полей.

В сферической системе координат, в которой естественно решать данную задачу, уравнения Максвелла (1) имеют вид:

(5)