Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процес (стр. 6 из 7)

(6)

(7)

(8)

Падающее поле возбуждает в шаре внутреннее поле, а во внешнем пространстве – дифрагированное поле, причем все эти поля должны иметь оду и ту же временную зависимость, т.е. частоту. Произвольное электромагнитное поле будем представлять как суперпозицию двух типов колебаний. Первый тип назовем электрическими колебаниями и будем считать, что у этих колебаний радиальная составляющая магнитного поля во всех точках равна нулю:

(9)

Второй тип – магнитные колебания:

(10)

В случае электрических колебаний из уравнения (6) получим

Это соотношение, очевидно, будет удовлетворено, если предположим, что

есть производные от некоторой третьей функции : первая – по , а вторая – по :

Подставляя эти соотношения в формулы (4) и (5) получим

Этим соотношениям можно удовлетворить, если положить

где - некоторая новая функция. Тогда найдем . Если теперь вместо функции ввести , то формула (3) получит вид

(11)

тогда как (7) и (8) приводятся к одному и тому же волновому уравнению для функции

(12)

Используя указанные выше соотношения и заменяя в выражении для

производные по через производные по r из уравнения (12), получим следующие соотношения:

(13)

которые выражают все составляющие полей для случая

через одну функцию - потенциал электрических колебаний. Подставив эти выражения в уравнение (3) – (8), легко убедиться в том, что равенства (13) образуют решение уравнений Максвелла, если U₁ является решением волнового уравнения. Аналогично для магнитных колебаний все составляющие полей могут быть выражены через некоторую функцию - потенциал магнитных колебаний.

В общем случае в поле присутствуют колебания обоих типов. Для составляющих полей получим при этом следующие выражения:

(14)

Функции U₁ и U₂ являются решением волнового уравнения.

(15)

которое будем решать по методу Фурье (значок у U временно опущен, он появится при рассмотрении граничных условий, которые для U₁ и U₂ различны). В качестве частного решения положим

(16)

Подставляя (16) в (13) и разделяя переменные, получим для f и Y следующие уравнения:

(17)

(18)

Уравнение для Y имеет однозначное и непрерывное решение на всей сфере только для

, где n = 0, 1, 2… В этом случае его решением являются сферические функции:

(19)

где

а - полином Лежандра. В уравнении (17) сделаем подстановку , тогда для R_n (x) получим следующее уравнение (x = kr):

(20)

Это уравнение Бесселя и его решением являются цилиндрические функции с полуцелым индексом

. Таким образом, n-е частное решение уравнения (15) будет

(21)

Из всех цилиндрических функций только бесселевы функции первого рода

конечны в нуле. Поэтому только они могут быть использованы для решения внутри шара. Вне шара, в соответствии с принципом излучения, решение должно иметь характер расходящейся волны. Так как временной множитель выбран в виде , то только ханкелевская функция второго рода дает волну, расходящуюся из источника дифракции . Обозначим

(22)

тогда частное решение, очевидно, следует представить в виде суперпозиции частных решений с неопределенными коэффициентами, которые вычисляются из граничных условий. Граничные условия для потенциалов U₁ и U₂ на шаре получаются из требования непрерывности тангенциальных (

) составляющих полей. Из (14) видно, что для этого необходимо, чтобы на поверхности шара были непрерывны следующие величины: , т.е.

(23)

(24)

где U^a – потенциал дифрагированного поля, а Uⁱ – внутреннего.

Представим теперь электрический и магнитный потенциалы падающей волны также в виде рядов по

, используя известное разложение плоской волны по полиномам Лежандра:

(25)

Тогда после преобразований получим:

(26)

Потенциалы

и должны иметь такую же угловую зависимость, как и потенциалы падающего поля. Поэтому можно записать:

(27)

(28)

Коэффициенты

должны быть определены из условий (23), (24), которые образуют относительно пар коэффициентов и с данным значком две независимые системы по два линейных уравнения. Запишем их, введя следующие обозначения: ; - относительный (комплексный) показатель преломления, - длина волны излучения. Для и имеем: