Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процес (стр. 7 из 7)

(29)

Аналогичная система получается для

и :

(30)

Решая эти системы относительно

и , получим:

(31)

Аналогичные выражения получаются и для

и . Подставляя эти выражения в (27) и (28), получаем однозначное решение уравнений для потенциалов, удовлетворяющее всем граничным условиям. Из потенциалов, в соответствии с (14), можно получить выражения для составляющих внутреннего и дифрагированного полей. Так как в дальнейшем нас будет интересовать дифрагированное поле, то выпишем только его составляющие, восстановив опущенный ранее множитель Е₀:

(32)

Штрихи всюду означают производные по аргументу, указанному под знаком функции (

и ). На достаточно большом расстоянии от рассматриваемой частицы, в так называемой волновой зоне, можно пренебречь составляющими E_r и H_r по сравнению с составляющими по и . Дифрагированное поле будет являться поперечной волной, распространяющейся из источника дифракции. Введя обозначения

(33)

(34)

и применяя асимптоматические выражения для функций

при , получим:

(35)

Согласно этим формулам, дифрагированное поле представляется в виде сумм отдельных парциальных волн. Интенсивность возбуждения

-й парциальной волны определяется числами , которые существенно зависят от .

Поле вне частицы

есть суперпозиция падающего и дифрагированного полей:

(36)

Средняя по времени величина вектора потока энергии определяется

(37)

где

- вектор, комплексно сопряженный к . В силу (36) поток может быть представлен в виде , где - поток падающего поля, - дифрагированного поля и - поток, обязанный интерференции падающего и рассеянного излучений. Определим величины сечений поглощения с_п и рассеяния с_р излучения частицей

(38)

где J₀ – интенсивность падающего излучения,

- радиальные составляющие потоков, - элемент телесного угла, а - элемент площади на сфере. Все интегралы распространены по сфере. Полное ослабление потока в результате прохождения им частицы будет складываться из рассеяния и поглощения, т.е. для сечения ослабления излучения частицей имеем с = с_п + с_р. Поскольку поток падающего излучения постоянен по направлению, то и для искомых сечений получим

(39)

(40)

Рассмотрим интеграл в (39). Имеем

Подставляя сюда выражение (32) для полей, выполняя интегрирование по и группируя соответствующим образом члены, получим двойную сумму следующих двух типов выражений:

Сумма будет иметь общий множитель

. Оба интеграла легко вычисляются. Интеграл а) равен нулю, так как его подынтегральное выражение есть , а функция равна нулю при . В интеграле б) преобразуем вначале первое слагаемое, проинтегрировав его по частям

Заключение

В дипломной работе приведены некоторые примеры применения дифференциальных уравнений для моделирования таких реальных процессов, как колебания струны, электрические колебания в проводах, распространение тепла в стержне и пространстве, распространение температурных волн в почве, дифракция излучения на сферической частице.

Работа начинается с рассмотрения простейших задач, приводящих к дифференциальным уравнениям гиперболического типа (колебания струны, электрические колебания в проводах). Затем рассматривается один из методов решения уравнений данного типа. Во второй главе рассматриваются дифференциальные уравнения параболического типа (распространение тепловых волн) и одно из приложений к данной сфере – температурные волны. В третьей главе рассматривается вывод уравнения дифракции излучения на сферической частице.

Вследствие большого объема теории по применению дифференциальных уравнений для моделирования реальных процессов в данной дипломной работе не мог быть рассмотрен весь материал.

В заключение хотелось бы отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении многих задач математики, физики и техники, так как часто не всегда удается установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказать протекание определенного процесса при определенных условиях.

Литература.

1. Н. С.Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисления», М., «Наука», 1972, том. 2.

2. И. М. Уваренков, М. З. Маллер «Курс математического анализа», М., «Просвещение», 1976.

3. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский «Уравнения математической физики», М., «Наука», 1972.

4. Владимиров В. С. «Уравнения математической физики», М., «Наука», 1988.

1 Это предположение эквивалентно тому, что мы пренебрегаем величиной

по сравнению с 1. Действительно, .