Теория поля и элементы векторного анализа (стр. 2 из 3)

Определение

Циркуляция вектора

вдоль замкнутого контура равна потоку его ротора через поверхность, ограниченную этим контуром (рис. 9)

(20)

Потенциальное векторное поле

Определение:

Векторное поле

называется потенциальным, если существует скалярная величина , такая, что

– называется скалярным потенциалом поля.

Свойства потенциального поля

1. В потенциальном поле отсутствуют вихри (отсутствует ротация), т.е.

Доказательство:

2. Циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю (это следствие п.1)

3. Работа потенциального поля при перемещении точки из одного положения в другое не зависит от пути соединяющего эти положения и равна разности потенциалов в конечных точках.

Циркуляция потенциального поля не зависит от вида кривой, соединяющей две различные точки, и равна разности значений потенциала в данных точках.

отсюда получаем

4. Векторные линии потенциального поля не могут быть замкнутыми.

Доказательство от противоположного:

Допустим, что есть замкнутая векторная линия L. Тогда по определению векторной линии вдоль соответствующего контура

и, следовательно, и циркуляция по нему больше нуля , что противоречит свойству 2.

5. Сумма потенциальных векторных полей является потенциальным полем, и потенциал суммы полей равен сумме потенциалов.

Соленоидальное векторное поле

Определение:

Векторное поле

называется соленоидальным (вихревым), если существует векторная величина такая, что

= rot

– называется векторным потенциалом поля .

Свойства соленоидального поля

1. Для того чтобы поле

было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы во всей рассматриваемой области выполнялось равенство div = 0, т.е. его поток через всякую замкнутую поверхность, погруженную в поле, = 0. Следовательно, соленоидальные поля лишены источников и стоков.

Замечание: Это свойство можно положить в определение.

Доказательство основывается на том, что

=

Следствие

= 0

как следствие этого свойства получаем, что поток вектора

соленоидального поля через две одинаково ориентированные поверхности S₁ и S₂, опирающиеся на один и тот же контур L, одинаков.

2. Поток соленоидального поля через два любых сечения векторной трубки одинаков.

Доказательство:

Отрезок векторной трубки, ограниченный сечениями S₁, S₂ и S_d, можно рассматривать как замкнутую поверхность, помещенную в соленоидальное поле. Поэтому

, но , т.к. .

Учитывая, что

и направлены в противоположные стороны, и вводя (– ), получим

отсюда следует

3. В соленоидальном поле векторные линии либо замкнуты, либо уходят к границе поля. Так как

, то векторные линии поля не могут начинаться или кончаться в области поля, иначе в…? будет существовать сток или исток, что противоречит свойству 1.

4. Сумма соленоидальных векторных полей есть соленоидальное поле.

Потенциальное несжимаемое поле. Гармоническое поле

, отсюда следует =

Это поле часто называют гармоническим или полем Лапласа.

Резюме

По заданному полю

мы всегда можем найти поля u и . Справедливо и обратное утверждение: по известным u и всегда можно найти искомое поле .

Пусть поле

известно, тогда потенциалы u и находятся из уравнений:

Если u и

известны, тогда векторное поле определяется из уравнений:

Эти уравнения всегда разрешимы.

Теорема о разложимости произвольного векторного поля

Произвольное векторное поле

всегда может быть представлено в виде суммы потенциального и соленоидального полей.

Задано

где

;

и, следовательно

Потенциалы

и uдолжны удовлетворять следующему соотношению:

1.

но дивергенция соленоидального поля должна быть равна 0.

отсюда

™

2.

(**)

Для определения

и u получили два дифференциальных уравнения, которые всегда имеют решения и, следовательно, произвольное поле всегда можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей.