Методи дослідження мереж масового обслуговування (стр. 3 из 13)
де
— число повідомлень, що знаходяться в k-му центрі (у черзі і на обслуговуванні) у момент t ( 
), і позначимо через
імовірність того, що у момент t мережа знаходиться в стані
Позначимо через S(N,M) множину М-вимірних векторів з невід’ємними цілочисельними координатами
потужність якої (кількість станів) дорівнює
Випадковий процес N(t), який визначений на просторі станів S(N,M), є марківським, оскільки тривалості обслуговування в центрах мережі розподілені за експоненціальним законом. Аналізуючи можливі переходи цього процесу за проміжок часу
і переходячи до границі при 
, одержуємо наступну систему прямих диференціальних рівнянь Колмогорова: 
де
- — вектор, i-я координата якого дорівнює 1, а інші дорівнюють нулю; функція 
визначає число повідомлень, що знаходяться на обслуговуванні в k-му центрі ( ), коли загальне число повідомлень в ньому дорівнює 
при ni=0 і 
при 
.Розглянемо розв’язання системи (2.1.1) в стаціонарному режимі, який в замкненій мережі МО завжди існує. Прирівнюючи до нуля похідні в лівій частині системи рівнянь (2.1.1), для ймовірностей стаціонарного розподілу марківського процесу N(t)
з урахуванням тотожності
одержуємо наступну систему лінійних різницевих рівнянь: 
Ліва частина є швидкістю переходів із стану n, а права — швидкість переходів в цей стан. Рівняння (2.1.2) називають рівнянням глобального балансу.
2.1.2 ВИГЛЯД РОЗВ’ЯЗКУ В МУЛЬТИПЛІКАТИВНІЙ ФОРМІ
Переходячи до розв’язання системи рівнянь (2.1.2), введемо функцію
яка може бути представлена також рекурсивно:
введемо заміну змінних в (2.1.2):
Після підстановки (2.1.4) в (2.1.2) одержимо нову систему рівнянь відносно Q(n):
Якщо представити Q(n) у вигляді функції М невідомих параметрів xi:
і підставити у вираз (2.1.5), то (2.1.5) набуває наступного простого вигляду:
З метою подальшого спрощення останньої системи рівнянь припустимо, що всі N повідомлень знаходяться в j-му центрі
і, отже, в решті центрів повідомлення відсутні. Враховуючи, що функція 
в цьому випадку за означенням дорівнює нулю для всіх 
, одержуємо 
або, ввівши позначення
Отже, невідомі параметри xk визначаються з системи лінійних рівнянь (2.1.9), рішення якої в силу припущення про вид маршрутної матриці Р єдине з точністю до мультиплікативної константи ε.
Таким чином, стаціонарний розподіл ймовірності станів даної замкненої однорідної експоненціальної мережі МО має вигляд
Нормалізуюча константа
визначається з умови нормування 
Тут підсумовування ведеться по всіх
можливих станах вектора 
.З (2.1.11) витікає, що
Підставляючи (2.1.12) в (2.1.10) і враховуючи, що
, одержуємо остаточно
З останнього виразу видно, що стаціонарні імовірності Р(n) не залежать від константи ε з точністю, до якої визначаються значення вектора ε, і мають вид добутку, співмножники якого
є стаціонарні імовірності станів i-го центру, що розглядається окремо від мережі.Формули (2.1.12) і (2.1.13) дозволяють визначати різні імовірнісні характеристики мережі МО. Наприклад, ймовірність того, що кількість повідомлень в і-му однолінійному центрі
більше або рівне n, має вигляд 
З останнього виразу, з урахуванням того, що
, визначається граничний розподіл числа повідомлень, що знаходяться в i-му вузлі : 
Вирази (2.1.10), (2.1.15) і (2.1.13) справедливі відповідно для мереж,що не залежать від навантаження, і мереж, в яких залежність інтенсивності обслуговування центру від числа повідомлень у ньому визначається функцією (1.1.1).
2.1.3 МЕРЕЖІ, ЩО ЗАЛЕЖАТЬ ВІД НАВАНТАЖЕННЯ
Перейдемо до розгляду більш загального класу відкритих та замкнених мереж МО, що залежать від навантаження, у яких інтенсивність вхідного потоку і інтенсивність обслуговування в центрах є відповідно довільними функціями числа повідомлень в мережі і в центрах обслуговування. Для дослідження характеристик таких мереж МО використовувається техніка складання рівнянь локального балансу
Стаціонарні імовірності станів замкненої однорідної експоненціальної мережі, що залежить від навантаження, задовольняють наступній системі лінійних рівнянь:
яка виводиться так само, як система рівнянь (2.1.2). Тут
— символ Кронекера.Підставляючи в (2.1.16) рівняння (2.1.9), яке записане у вигляді
Очевидно, що рівняння глобального балансу (2.1.17) виконується, якщо вираз, що стоїть у фігурних дужках, рівний нулю:
Таким чином, рівняння (2.1.18), яке називають рівнянням локального балансу, є достатньою (але не необхідною) умовою глобального балансу (2.1.19). З рекуррентного рівняння (2.1.18) безпосередньо випливає, що стаціонарна імовірність Р(n) має наступний вигляд:
де введене позначення
а нормалізуюча константа визначається з умови нормування 
і дорівнює