Методи дослідження мереж масового обслуговування (стр. 4 из 13)
Таким чином, ми знову одержали розв’язок, що має мультиплікативну форму.
Для відкритої мережі МО з інтенсивністю вхідного потоку
стаціонарні імовірності Р(n), що визначаються за допомогою міркувань, аналогічних виводу формул (2.1.2), (2.1.16), мають вигляд 
де позначено
Стаціонарний розподіл Р(n) існує і єдиний, якщо збігається ряд
У частковому випадку, коли інтенсивність вхідного потоку не залежить від числа повідомлень в мережі і дорівнює Λ, маємо
В цьому випадку (2.1.21) набуде вигляду
Тут Pi(ni) — стаціонарна імовірність того, що в і-му центрі, що розглядається ізольовано, знаходиться ni, повідомлень:
Вираз (2.1.22), відомий як теорема розкладання Джексона, показує, що дана мережа є сукупністю незалежних центрів обслуговування з пуассонівськими вхідними потоками з параметрами
, і інтенсивностями обслуговування 
, залежить від довжини черги.Таким чином, для відкритих і замкнених експоненціальних мереж розв’язок має мультиплікативну форму, що допускає декомпозицію мережі на ізольовані центри. Одержаний результат є нетривіальним, оскільки потоки у відкритих і замкнених експоненціальних мережах МО з довільною маршрутною матрицею не є пуассонівськими; він має вирішальне значення для розробки ефективних обчислювальних алгоритмів.
2.1.4 ПОКАЗНИКИ ЯКОСТІ ФУНКЦІОНУВАННЯ ОДНОРІДНИХ МЕРЕЖ
Основною метою при використанні моделей мереж МО для аналізу обчислювальних систем і мереж є відшукання різних показників якості функціонування або характеристик мереж МО. Ми розглянули одну з найважливіших таких характеристик — розподіл імовірності станів Р(n). Перейдемо тепер до визначення інших характеристик імовірності однорідних експоненціальних МО, що залежать від навантаження.
По аналогії з формулою (2.1.15) граничний розподіл числа повідомлень в М-му (граничному) центрі визначається у вигляді
З урахуванням виразу (2.1.20) для нормалізуючої константи маємо
Граничний розподіл в будь-якому центрі
може бути одержаний шляхом перенумерації центрів так, щоб даний центр став граничним. Для одержаної таким чином мережі застосовується вираз (2.1.23). Легко бачити, що для центру М, який не залежить від навантаження 
, вираз (2.1.23) перетвориться до вигляду (2.1.15). В цьому випадку при визначенні характеристик вузлів з номерами i=1,2,…,M-1 додаткова перенумерація не потрібна.Інтенсивність потоку повідомлень, що виходить, з і-го центру λi(N) за означенням дорівнює середньому числу заявок, що обслуговуються в ньому за одиницю часу. Таким чином,
З визначення
слідує, що 
Підставляючи (2.1.25) і (2.1.23) в (2.1.24), одержуємо для
Для випадку, коли інтенсивність обслуговування в i-му центрі описується виразом (1.1.1), продуктивність λi(N) може бути визначена через середню кількість зайнятих приладів в і-му центрі ui(n):
де ui(n) задовольняє наступному співвідношенню:
.Співвідношення (2.1.28) дозволяє визначити характеристики зайнятості і пропускної спроможності для всіх центрів, якщо розраховані або виміряні характеристики одного вузла.
З (2.1.27) і (2.1.28) встановлюється рівність нормованих пропускних спроможностей для кожного центру
Із співвідношення
слідує, що при 
один з центрів, наприклад j-й, виявиться насиченим, так що 
. Очевидно, що пропускна спроможність цього центру при буде 
і значення 
, 
для решти центрів мережі можуть бути визначені з (2.29). Цей прийом часто використовується при дослідженні деяких асимптотичних властивостей замкнених мереж масового обслуговування.Математичне сподівання числа повідомлень в М-му центрі з урахуванням виразу (2.1.23) має вигляд
Для вузла, що не залежить від навантаження, вираз, що описує середню довжину черги в центрі, спрощується:
Відповідно до формули Літтла середній час перебування повідомлень в i-му центрі обслуговування Ti(N) дорівнює відношенню середньої довжини черги до середньої інтенсивності вхідного потоку. У стаціонарному режимі інтенсивність вихідного потоку дорівнює інтенсивності вхідного потоку, тому
Особливий інтерес представляє час циклу Vi(N) — середнє значення інтервалу часу між моментом виходу з i-го центру до моменту першого надходження вказаного повідомлення в цей центр. Якщо ei=1, то величину ej можна інтерпретувати як середнє число відвідувань повідомленням j-го центру між двома послідовними відвідуваннями i-го центру. Отже, сумарний середній час, проведений повідомленням за час циклу в j-му центрі, складає
. Звідси 
Підставляючи в (2.1.33) вираз (2.1.32) і враховуючи співвідношення (2.1.29), яке в даному випадку має вигляд
, маємо: 
Таким чином, час циклу
однозначно визначається середньою довжиною черги і продуктивністю і-го центру.2.2 МЕРЕЖІ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ З КІЛЬКОМА КЛАСАМИ ПОВІДОМЛЕНЬ
Однорідні експоненціальні мережі МО володіють рядом обмежень, які в значній мірі звужують область їх практичного застосування. До їх числа відносяться: по-перше, припущення про експоненціальний розподіл тривалості обслуговування повідомлень у кожному центрі; по-друге, обмеження на дисципліну обслуговування в центрах, яке передбачає обслуговування за принципом ПППО; по-третє, припущення про статистичну однорідність повідомлень, що циркулюють в мережі. Розглянемо тепер мережі МО, в яких зняті всі згадані вище обмеження, — змішані мережі МО з кількома класами повідомлень і широким набором дисциплін обслуговування в центрах.
2.2.1 ОПИС ЗМІШАНОЇ МЕРЕЖІ
Змішана мережа МО складається з кінцевого числа М центрів обслуговування, між якими відповідно до маршрутної матриці Р циркулює R різних класів повідомлень. Під час переходу з одного центру в іншій повідомлення можуть змінювати клас так, що повідомлення r-того класу може стати повідомленням s-го класу
.Маршрут в змішаній мережі з кількома класами задається матрицею
, де 
— імовірність того, що повідомлення r-то класу, що закінчило обслуговування в i-му центрі, перейде в k-й центр і стане повідомленням s-го класу.На парах (ir) визначається марківський ланцюг з матрицею переходів Р, який можна розкласти на L ергодичних неперетинних підланцюгів, множина станів кожного з яких E1, E2, …, EL.
Нехай nir — число повідомлень класу r в i-му центрі в стані мережі n; Nj=M(n, Ej) і N=M(n) — відповідно число повідомлень в підланцюзі Ej і в мережі МО в стані n. Тоді виконуються співвідношення
причому, якщо Nj = M(n, Ej) = const при
, дана мережа є замкненою.