Методи дослідження мереж масового обслуговування (стр. 5 из 13)
Вхідний потік, який надходить в розімкнену мережу із зовнішнього джерела, може бути заданий різними способами. У першому випадку з джерела надходить один пуассонівський потік, інтенсивність якого Λ(M(n)) є функцією загального числа повідомлень в мережі при її стані n. Вхідне повідомлення надходить в i-й центр і стає повідомленням класу r з імовірністю P0, ir, яка не залежить від стану мережі. У другому випадку є L пуассонівських вхідних потоків повідомлень, які надходять у відповідні підланцюги. Інтенсивність j-го потоку
є функцією числа повідомлень в j-му підланцюзі 
. Повідомлення j-го потоку, що виходить з джерела, з імовірністю Pj, ir надходить в i-й центр і стає повідомленням r-того класу, якщо 
, та 
. У відкритій мережі МО вимога класу r, що закінчила обслуговування в і-му центрі, покидає мережу з імовірністю 
Для довільного підланцюга справедлива наступна система рівнянь згідно (1.3.2):
де
— відносна інтенсивність потоку повідомлень классу r, який проходить через центр і. Якщо 
для всіх 
, то мережа замкнена по відношенню до підланцюга Еj. В цьому випадку визначаються з точністю до мультиплікативної константи. Якщо 
хоча б для однієї пари , то визначається однозначно.Для завершення опису змішаної мережі МО залишається задати дисципліну і механізм обслуговування в центрах мережі. Вважатимемо, що мережа складається з центрів наступних чотирьох типів.
Центр типу 1. Обслуговування повідомлень в центрі здійснюється відповідно до дисципліни ПППО. Тривалість обслуговування повідомлень всіх класів має один і той же експоненціальний розподіл з інтенсивністю
, яка залежить від числа повідомлень в центрі ni.. Стан ni центру визначається вектором 
, де 
– номер класу повідомлення, що стоїть j-м в черзі 
Центр типу 2. Обслуговування повідомлень в однолінійному центрі здійснюється відповідно до дисципліни РП. Тривалість обслуговування повідомлення r-го класу, r=1, 2, ..., R, розподілена за законом Коксу з параметрами
і середнім 
де
—імовірність того, що повідомлення класу r досягає l-ї стадії обслуговування в і-му вузлі. Стан центру 
визначається вектором 
, де 
– вектор 
, l-та координата якого 
означає число повідомлень r-го класу в і-му центрі, які знаходяться на l-му етапі обслуговування. Число повідомлень r-го класу в i-му центрі складає 
, а загальне число повідомлень в центрі 
. Таким чином, швидкість завершення обслуговування повідомлення r-го класу, що знаходиться на l-му етапі у стані ni центру, дорівнює 
. Після завершення обслуговування повідомлення покидає центр з імовірністю birl и переходить до наступної стадії з імовірністю airl.Центр типу 3. Багатолінійний центр з числом обслуговуючих приладів, рівним або більшим максимальної кількості повідомлень в цьому центрі, і дисципліною обслуговування ОБО (обслуговуванням без очікування). Стан центру і розподіл тривалості обслуговування, що має раціональне перетворення Лапласа, описуються так само, як і для центру другого типу.
Центр типу 4. Однолінійний центр з дисципліною обслуговування ОППО («останнім прийшов — першим обслужений»). Так само, як для вузлів другого і третього типів, розподіл тривалості обслуговування має раціональне перетворення Лапласа і може відрізнятися для повідомлень різних класів. Стан центру
визначається вектором 
. де 
— пара, що характеризує повідомлення, що стоїть j-м в черзі, при дисципліні обслуговування ОППО, rj — номер класу повідомлення і lj — номер перерваного етапу обслуговування. Обслуговування перерваного повідомлення починається з того етапу, на якому воно було перерване.2.2.2 ТЕОРЕМА ВСМР
Назва теореми – складено з перших літер прізвищ авторів: Baskett F., Chandy K., Muntz R., Palacios F.) Через зроблені припущення і означення процес, що описує функціонування змішаної мережі МО, є марківським. Стан мережі є вектором
, де характеризує стан i-го центру і має структуру, що залежить від типів центрів мережі, описаних вище.Рівняння глобального балансу для знаходження стаціонарного розподілу P(n) ймовірностей станів мережі записуються по аналогії з (2.1.16) в загальному вигляді таким чином:
для будь- якого стану n, n’, де λ(n) — інтенсивність виходу мережі із стану n; λ(n’, n) — інтенсивність переходу мережі із стану n’ в стан n. Відшукання стаціонарного розподілу P(n) безпосередньо з системи рівнянь (2.2.34) представляє складну задачу, тому звичайно використовується підхід, пов'язаний з отриманням рівнянь локального балансу, техніка складання яких для однорідних замкнених мереж була розглянута в 1.1. В даному випадку суть складання рівнянь локального балансу полягає в прирівнюванні інтенсивності входу мережі в стан, при якому повідомлення починає обслуговуватися з певного етапу, до інтенсивності виходу мережі з цього стану, при якому повідомлення закінчує цей етап обслуговування. З кожним повідомленням зв'язується етап обслуговування. Якщо повідомлення обслуговується, то етап визначений, якщо воно стоїть в черзі, то для дисципліни обслуговування ПППО це буде перший етап, для ОППО — перерваний етап. При такому підході кожне рівняння системи (2.2.34) можна представити у вигляді ряду рівнянь локального балансу, виконання яких, як вже наголошувалося, є достатньою (але не необхідною) умовою виконання рівнянь глобального балансу.
ВСМР- теорема. Для змішаної мережі МО, кожен центр якої належить до одного з вказаних чотирьох типів, стаціонарний розподіл ймовірностей станів існує і має мультиплікативний вигляд:
Стаціонарний розподіл існує, якщо збігається ряд
де G — нормалізуюча константа.
У практичних додатках докладний опис станів вузлів, що включає, наприклад, етап обслуговування і порядок розташування повідомлень у вузлі, не є істотним. Основний інтерес представляють агреговані стани вузлів
і відповідні стани мережі . Ймовірності стаціонарного агрегованого стану мережі P(n) можна одержати підсумовуванням P(n’) по всіх станах n’. В силу мультиплікативності P(n’) це еквівалентно підсумовуванню множників 
по всіх станах вузлів 
при фіксованих 
. Якщо позначити одержані множники через Zi(ni), то вираз для P(n) набуде вигляду 