Методи дослідження мереж масового обслуговування (стр. 6 из 13)
де нормалізуюча константа G і функція
визначаються так само, як і в (2.2.35), а Zi(ni) залежить від типу i-го вузла 
і має наступний вигляд:якщо і-й вузол першого типу,
якщо і-й вузол другого або четвертого типу,
якщо i-й вузол третього типу,
Таким чином, стаціонарний розподіл стану мережі P(n) має мультиплікативний вигляд і, що особливо важливе, не залежить від функції розподілу тривалості обслуговування в центрах (а тільки від відповідних середніх значень).
2.2.3 ВІДКРИТІ МЕРЕЖІ МО З КІЛЬКОМА КЛАСАМИ ПОВІДОМЛЕНЬ
Для відкритих мереж, коли інтенсивність вхідного потоку повідомлень з джерела не залежить від стану мережі, можливі подальші спрощення. Розглянемо спочатку закон розподілу числа повідомлень в мережі без розділення повідомлень на різні класи. В цьому випадку стан і -го центру характеризується числом повідомлень в ньому ni, а стан мережі —вектором
і вираз для P(n) набуде наступного простого вигляду: 
Де
Для відкритої мережі система рівнянь для відшукання відносних інтенсивностей потоків має єдиний розв’язок
і, отже, інтенсивність потоку повідомлень r- того класу, що надходять в i-й вузол, 
. Для випадку, коли інтенсивність обслуговування в центрах відкритої мережі не залежить від числа повідомлень в центрі з урахуванням позначення 
вираз для стаціонарного розподілу станів мережі набуває наступного вигляду:
Де
2.2.4 РОЗШИРЕННЯ ТЕОРЕМИ ВСМР
Розглянуті в 1.2 відкриті, замкнені і змішані мережі, що задовольняють умовам теореми ВСМР, мають широке практичне застосування при дослідженні обчислювальних систем і мереж. Проте природно виникає наступне питання: чи обмежений клас мереж, для яких виконується властивість мультиплікативності, лише мережами, що включають чотири типи центрів обслуговування? Частково відповідь на це питання дається в роботі Мунтца, де показано, що для розглянутих чотирьох типів центрів обслуговування, характерна властивість
— пуассонівський характер надходження повідомлень спричиняє за собою пуассонівський потік повідомлень на виході системи. Показано, що мережа центрів обслуговування, що володіють властивістю , має мультиплікативну форму стаціонарних ймовірностей станів.У ряді інших робіт одержана значна кількість теоретичних результатів, які розширюють теорему ВСМР. Зокрема, в роботі Ноетзела введена узагальнена дисципліна обслуговування LBPS (Last Batch Processor Sharing), яка визначає великий клас дисциплін обслуговування, при яких стаціонарні ймовірності станів мережі МО мають мультиплікативну форму для довільного розподілу тривалості обслуговування в центрах мережі.
Зупинимося детальніше на практично важливому узагальненню теореми ВСМР, розглянутому в роботі Лема,у якій сформульовані достатні умови мультиплікативності мереж МО з більш загальної, ніж в умовах теореми ВСМР, залежністю інтенсивностей потоків, що надходять, від стану мережі МО.
Розглянемо відкриту ВСМР- мережу, в яку надходить L пуассонівських потоків повідомлень. Додатково до позначень п.2.2.2 введемо вектор агрегованого стану мережі
На множині L - вимірних, цілочисельних, невід’ємних векторів задані два набори функцій:
які можуть приймати значення на множині {0, 1}. Повідомлення l-го підланцюга, що надходить у мережу, приймається на обслуговування, якщо функція втрат 
, і втрачається, якщо 
. Функція 
, якщо у момент відходу з мережі повідомлення l- го підланцюга нове повідомлення вказаного під ланцюга миттєво вводиться в мережу, і 
в іншому випадку.Введемо наступні позначення:
де D і V — відповідно допустимі множини векторів n та U(N) . Тоді справедлива наступна теорема.
Теорема. Нехай функція втрат
і функції 
задовольняють умові 
для всіх пар y і у—1l з V. Тоді стаціонарний розподіл ймовірностей станів мережі МО має мультиплікативну форму: 
нормалізуюча константа.
РОЗДІЛ 3. МЕТОД АНАЛІЗУ СЕРЕДНІХ ЗНАЧЕНЬ
3.1 ЗАГАЛЬНЕ ОПИСАННЯ МЕТОДУ
Розглянемо спочатку застосування методу аналізу середніх значень для розрахунку замкненої однорідної експоненціальної мережі МО, що не залежить від навантаження, яку позначимо через D(N). Якщо обслуговування у вузлах мережі D(N) здійснюється відповідно до дисципліни ПППО, то середній час очікування Ti(N)в i-му центрі складається з середньої тривалості обслуговування повідомлення τi, яке щойно надійшло, і середньої тривалості обслуговування всіх повідомлень, що знаходилися в i-му центрі τiνi(N), де νi(N) — середня кількість повідомлень в i-му центрі у момент надходження нового повідомлення. Таким чином,
і для визначення νi(N) необхідно досліджувати стаціонарний режим марківського ланцюга, що описує функціонування мережі в моменти надходження повідомлень в i-й центр. Стаціонарні імовірності станів мережі D(N)у момент надходження повідомлень в i-й центр співпадають із стаціонарними імовірностями станів мережі D(N-1) для довільного моменту часу. Звідси безпосередньо витікає, що
, де 
— середня кількість повідомлень в i-му центрі мережі D(N-1), та (3.1.1) набуває вигляду: 
Щоб одержати рекурентний алгоритм для розрахунку середніх характеристик мережі, необхідно знайти співвідношення, яке зв'язує величини Li(N) и Ti(N). Таке співвідношення витікає з формули Літтла, застосованої до i-го центру:
де λi(N)- інтенсивність потоку повідомлень, що надходять в i-й центр.
Якщо позначити через i*номер довільного виділеного центру мережі, то:
де- ejоднозначно визначається рівняннями
а продуктивність виділеного центру
з урахуванням формули Літтла має вигляд: 
Враховуючи початкові умови
,за допомогою системи рівнянь 
можна рекуррентно по N розраховувати середні характеристики однорідної мережі МО, інтенсивності обслуговування центрів якої не залежать від навантаження
3.2 ОДНОРІДНА ЗАМКНЕНА МЕРЕЖА МО, ЩО ЗАЛЕЖИТЬ ВІД НАВАНТАЖЕННЯ
Перш ніж переходити до виводу рекурсивних співвідношень для середніх характеристик мережі МО, вузли якої залежать від навантаження, визначимо співвідношення для граничних розподілів
. Вираз для граничного розподілу довжини черги в i-му центрі (i=1,2,…,M) може бути представлено у вигляді: 
де gi (n,M)- нормалізуюча константа мережі, в якій відсутній і-й центр і циркулює n повідомлень.
Підставляючи в останній вираз
і враховуючи що