Методи дослідження мереж масового обслуговування (стр. 9 из 13)
Другий підхід базується або на виділенні в початковій мережі слабо зв'язаних підмереж з подальшою оцінкою інтегральних характеристик мережі з похибкою, яка є функцією ступеня зв'язності підмереж, або на декомпозиції мережі на центри обслуговування, які аналізуються окремо, і на складанні рівнянь балансу середніх і дисперсії потоків для розрахунку характеристик мережі в цілому.
Декомпозиційна апроксимація є одним з найбільш перспективних методів, які дозволяють з одного боку збільшити ефективність аналізу мереж МО в розрахунковому відношенні, а з іншого – отримати досить точні оцінки характеристик моделей, які не можуть бути розраховані точними моделями.
5.1 АПРОКСИМАЦІЯ ФУНКЦІЙ РОЗПОДІЛУ
Якщо функції розподілу тривалості обслуговування в центрах мережі допускають раціональне перетворення Лапласа і обслуговування повідомлень в центрах мережі здійснюється відповідно до дисципліни РП, ОБО або ОППО, то відповідно до теореми ВСМР стаціонарні імовірності станів мережі задовольняють мультиплікативній формі і мають вигляд
. Таким чином, один із способів наближеного дослідження немарківських мереж МО полягає в апроксимації довільних функцій розподілу тривалості обслуговування повідомлень в центрах мережі узагальненим розподілом Кокса. Строге обґрунтування можливості такої апроксимації дається наступною теоремою.Теорема. Нехай Q(x) — довільна функція розподілу, яка задовольняє умові Q(0)=0, і
— клас нескінченних сумішей ерланговськіх розподілів. Тоді для будь-яких 
і 
знайдеться такий розподіл 
, що
Вказана теорема залишається справедливою і при апроксимації кінцевими сумішами розподілів Ерланга.
На практиці звичайно розглядають дві основні характеристики функції розподілу: математичне сподівання τ=M[t] і дисперсію D=M[t2]-M2[t], де
та 
.Таке завдання функції розподілу обґрунтовується тим, що характеристики багатьох систем МО визначаються тільки першими двома моментами функції розподілу тривалості обслуговування.Покажемо тепер, що апроксимація функцій розподілу із заданими значеннями τ і ω може бути ефективно проведена при ω<1 узагальненим розподілом Ерланга, а при ω>1 гіперекспоненціальним розподілом другого порядку.
Розглянемо узагальнений розподіл Коксу для випадку, коли µ1= µ2=… µk=µ, a0=1, ar=1 при
bk=1. Таким чином, після першого етапу повідомлення може закінчити обслуговування з імовірністю b1 або продовжувати обслуговування на етапах, що залишилися, з імовірністю a1=1-b1. Вираз для перетворення Лапласа узагальненого розподілу Кокса в цьому випадку набуває вигляду 
де введене позначення b=b1. Диференціюючи F(s), одержуємо:
Використовуючи відоме співвідношення для визначення початкових моментів розподілу
Знаходимо
Підставляючи (5.1.1) у вираз для коефіцієнтів варіації
маємо:
З останнього рівняння знаходимо шукане значення імовірності:
Таким чином, при
апроксимація функцій розподілу може здійснюватися узагальненим розподілом Ерланга з параметрами b і k, визначеними вище. Інтенсивність обслуговування на етапі r знаходиться з виразу для M[t]: 
При
апроксимацію зручно проводити за допомогою гіперекспоненціального розподілу. Розглянемо гіперекспоненціальний розподіл другого порядку з числом етапів k=2 і щільністю розподілу 
Приймаючи 
і здійснюючи перетворення, аналогічні розглянутому вище випадку, одержуємо: 
Звідси знаходимо:
Щоб виконувалася умова (5.1.2), покладемо
Підставляючи (5.1.3) — (5.1.5) у вираз для коефіцієнта варіації (5.1.2) і розв’язуючи відповідне квадратне рівняння, одержуємо
Оскільки сума коренів b1+b2=1, то можна використовувати будь-який з них. Таким чином, узагальнені ерланговський і гіперекспоненціальний розподіли цілком визначаються першими двома моментами і перекривають весь діапазон значень коефіцієнтів варіації від 0 до 1 і від 1 до ∞.
Розглянутий спосіб апроксимації функцій розподілу тривалості обслуговування в центрах мережі приводить до значного збільшення простору станів мережі МО і, отже, може бути використаний лише для мереж невеликої розмірності.
5.2 ТЕОРЕМА НОРТОНА ДЛЯ АНАЛІЗУ ЗАМКНЕНИХ І РОЗІМКНЕНИХ ЛОКАЛЬНО-ЗБАЛАНСОВАНИХ МЕРЕЖ МО
Розглянемо однорідну мережу МО з М центрами обслуговування, яка задовольняє умовам локального балансу і ймовірностями переходу, що задаються матрицею маршрутів
Нехай ei — відносна інтенсивність потоку повідомлень в i-му центрі, яка задовольняє векторне рівняння еР=е. У замкненій мережі розв’язок векторного рівняння єдиний з точністю до мультиплікативної константи.
Декомпозиція такої мережі на основі теореми Нортона дозволяє звести початкову мережу МО до еквівалентної з двома центрами обслуговування. При цьому перший центр двохвузлової мережі збігається з i-м центром початкової мережі
, а другий (композиційний), є еквівалентом частини мережі, що залишилася, володіє експоненціально розподіленим часом обслуговування з параметром 
, який залежить від числа повідомлень в ньому.Теорема. Граничний розподіл числа повідомлень в i-му центрі початкової мережі збігається з відповідним розподілом еквівалентної мережі, якщо параметр
композиційного центру дорівнює інтенсивності 
надходження повідомлень в i-й центр початкової мережі, в якій 
.Розглянемо детальніше застосування цієї теореми на прикладі замкненої мережі МО (рис. 5.1 ). Для обчислення статистичних характеристик i-го центру мережі на рис.5.1 підмережа В замінюється композиційним центром (рис. 5.2). Інтенсивність обслуговування повідомлень композиційним центром визначається підмережею В, яка співпадає з мережею на мал. 5.1 у всьому, за винятком того, що замість i-го центру вводиться пряме з'єднання - i-й центр замикається (рис.5.2). Інтенсивність
встановлюється рівній продуктивності 
замкненої підмережі В. Таким чином, для повного визначення еквівалентної мережі необхідно обчислити (аналітично або за допомогою імітаційної моделі) або виміряти продуктивності 
підмережі В, в якій циркулює 1,2,…,N повідомлень.Рисунок 5.1 Декомпозиція мережі МО
