Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп (стр. 10 из 11)

слабо нормальна в

. Следовательно, условия теоремы справедливы для .

(3) Если

- простое число и

, то

.

Пусть

Тогда ввиду (2),

дисперсивна по Оре. С другой стороны, если - множество всех простых делителей , то ввиду леммы (3) и леммы , , где - нормальная -подгруппа в и поэтому

дисперсивна по Оре. Но тогда

дисперсивна по Оре, противоречие. Значит, справедливо (3).

(4)

разрешима.

По условию

квазинормальна в и поэтому ввиду леммы (3) и леммы , содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе группы . Так как

дисперсивна по Оре, то

разрешима.

(5)

.

Предположим, что

. Тогда согласно лемме , нильпотентна. Пусть - силовская -подгруппа группы . Поскольку субнормальна в , то субнормальна в . Значит, по лемме , . Но ввиду (2), дисперсивна по Оре и поэтому по выбору группы , . Пусть - наименьший простой делитель . Тогда имеет нормальную максимальную подгруппу , такую что и . Пусть - наибольший простой делитель , - силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду (1), нормальна в и поэтому . Если , то - силовская -подгруппа группы и поэтому дисперсивна по Оре. Отсюда следует, что дисперсивна по Оре, противоречие. Следовательно, . Но тогда -группа. Пусть - силовская -подгруппа в . Тогда - силовская -подгруппа в . Поскольку - подгруппа группы и ввиду (1), дисперсивна по Оре, то . Так как дисперсивна по Оре, то и поэтому . Следовательно, группа дисперсивна по Оре. Полученное противоречие доказывает (5).

Заключительное противоречие.

Пусть

- минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Пусть - -группа и - силовская -подгруппа группы . Ввиду (2), дисперсивна по Оре. Пусть - наименьший простой делитель . Тогда имеет нормальную максимальную подгруппу , такую что и . Пусть - наибольший простой делитель , - силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду (1), нормальна в и поэтому . Рассуждая как выше видим, что . Но тогда -группа. Значит, и поэтому дисперсивна по Оре. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.