Смекни!
smekni.com

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп (стр. 2 из 11)

- нормализатор подгруппы
в группе
;

- центр группы
;

- циклическая группа порядка
;

- ядро подгруппы
в группе
, т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с
в
.

Если

и
- подгруппы группы
, то:

- прямое произведение подгрупп
и
;

- полупрямое произведение нормальной подгруппы
и подгруппы
;

-
и
изоморфны.

Группа

называется:

примарной, если

;

бипримарной, если

.

Скобки

применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

- подгруппа, порожденная всеми
, для которых выполняется
.

, где
.

Группу

называют:

-замкнутой, если силовская
-подгруппа группы
нормальна в
;

-нильпотентной, если
-холловская подгруппа группы
нормальна в
;

-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо
-группы, либо
-группы;

-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо
-группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа

группы
такая, что
нильпотентна.

разрешимой, если существует номер

такой, что
;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе

группы
называется такая подгруппа
из
, что
.

Минимальная нормальная подгруппа группы

- неединичная нормальная подгруппа группы
, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы
.

Цоколь группы

- произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы
.

- цоколь группы
.

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

- класс всех групп;

- класс всех абелевых групп;

- класс всех нильпотентных групп;

- класс всех разрешимых групп;

- класс всех
-групп;

- класс всех сверхразрешимых групп;

Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Пусть

- некоторый класс групп и
- группа, тогда:

-
-корадикал группы
, т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп
из
, для которых
. Если
- формация, то
является наименьшей нормальной подгруппой группы
, факторгруппа по которой принадлежит
. Если
- формация всех сверхразрешимых групп, то
называется сверхразрешимым корадикалом группы
.

Формация

называется насыщенной, если всегда из
следует, что и
.