Если
и - подгруппы группы , то: - прямое произведение подгрупп и ; - полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ; - и изоморфны.Группа
называется:примарной, если
;бипримарной, если
.Скобки
применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп. - подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется . , где .Группу
называют: -замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ; -нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ; -разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы; -сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа
группы такая, что нильпотентна.разрешимой, если существует номер
такой, что ;сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе
группы называется такая подгруппа из , что .Минимальная нормальная подгруппа группы
- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .Цоколь группы
- произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы . - цоколь группы .Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
- класс всех групп; - класс всех абелевых групп; - класс всех нильпотентных групп; - класс всех разрешимых групп; - класс всех -групп; - класс всех сверхразрешимых групп;Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть
- некоторый класс групп и - группа, тогда: - -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если - формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если - формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .Формация
называется насыщенной, если всегда из следует, что и .