Класс групп
называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .Произведение формаций
и состоит из всех групп , для которых , т.е. .Пусть
- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется -абнормальной, если .Подгруппы
и группы называются перестановочными, если .Пусть
- максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы называют порядок главного фактора , где и , и обозначают символом .Пусть
- группа и - различные простые делители порядка группы . Тогда группа называется дисперсивной по Оре, если существуют подгруппы , такие что - силовская -подгруппа группы и подгруппа нормальна в для всех .В своей работе Оре рассмотрел два обобщения нормальности, оба из которых вызывают неослабевающий интерес у исследователей и в наши дни. Во-первых, в работе были впервые введены в математическую практику квазинормальные подгруппы: следуя, мы говорим, что подгруппа
группы квазинормальна в , если перестановочна с любой подгруппой из (т.е. для всех подгрупп из ). Оказалось, что квазинормальные подгруппы обладают рядом интересных свойств и что фактически они мало отличаются от нормальных подгрупп. Отметим, в частности, что согласно, для любой квазинормальной подгруппы имеет место , а согласно, квазинормальные подгруппы - это в точности те субнормальные подгруппы группы , которые являются модулярными элементами в решетке всех подгрупп группы .Понятно, что если подгруппа
группы нормальна в , то в всегда найдется такая подгруппа , что выполнено следующее условие:Таким образом, условие
является еще одним обобщением нормальности. Такая идея также была впервые рассмотрена в работе, где в частности, было доказано, что: Группа является разрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы удовлетворяют условию . В дальнейшем, в работе подгруппы, удовлетворяющие условию были названы -нормальными. В этой же работе была построена красивая теория -нормальных подгрупп и даны некоторые ее приложения в вопросах классификации групп с заданными системами подгрупп.В данной диссертационной работе мы анализируем следующее понятие, которое одновременно обобщает как условие квазинормальности, так и условие
-нормальности для подгрупп.Определение. Подгруппа
группы называется слабо квазинормальной в подгруппой, если существует такая подгруппа группы , что и , - квазинормальные в подгруппы.Следующий простой пример показывает, что в общем случае слабо квазинормальная подгруппа не является ни квазинормальной, ни
-нормальной.Пример. Пусть
,где
. И пусть , . Тогда и . Пусть - группа простого порядка 3 и , где - база регулярного сплетения . Поскольку , и - модулярная группа, то квазинормальна в и поэтому подгруппа слабо квазинормальна в . Значит, подгруппа является слабо квазинормальной в , но не квазинормальной и не -нормальной в .