Смекни!
smekni.com

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп (стр. 3 из 11)

Класс групп

называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что
следует, что и каждая подгруппа группы
также принадлежит
.

Произведение формаций

и
состоит из всех групп
, для которых
, т.е.
.

Пусть

- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа
группы
называется
-абнормальной, если
.

Подгруппы

и
группы
называются перестановочными, если
.

Пусть

- максимальная подгруппа группы
. Нормальным индексом подгруппы
называют порядок главного фактора
, где
и
, и обозначают символом
.

Пусть

- группа и
- различные простые делители порядка группы
. Тогда группа
называется дисперсивной по Оре, если существуют подгруппы
, такие что
- силовская
-подгруппа группы
и подгруппа
нормальна в
для всех
.

Введение

В своей работе Оре рассмотрел два обобщения нормальности, оба из которых вызывают неослабевающий интерес у исследователей и в наши дни. Во-первых, в работе были впервые введены в математическую практику квазинормальные подгруппы: следуя, мы говорим, что подгруппа

группы
квазинормальна в
, если
перестановочна с любой подгруппой из
(т.е.
для всех подгрупп
из
). Оказалось, что квазинормальные подгруппы обладают рядом интересных свойств и что фактически они мало отличаются от нормальных подгрупп. Отметим, в частности, что согласно, для любой квазинормальной подгруппы
имеет место
, а согласно, квазинормальные подгруппы - это в точности те субнормальные подгруппы группы
, которые являются модулярными элементами в решетке всех подгрупп группы
.

Понятно, что если подгруппа

группы
нормальна в
, то в
всегда найдется такая подгруппа
, что выполнено следующее условие:

Таким образом, условие

является еще одним обобщением нормальности. Такая идея также была впервые рассмотрена в работе, где в частности, было доказано, что: Группа
является разрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы удовлетворяют условию
. В дальнейшем, в работе подгруппы, удовлетворяющие условию
были названы
-нормальными. В этой же работе была построена красивая теория
-нормальных подгрупп и даны некоторые ее приложения в вопросах классификации групп с заданными системами подгрупп.

В данной диссертационной работе мы анализируем следующее понятие, которое одновременно обобщает как условие квазинормальности, так и условие

-нормальности для подгрупп.

Определение. Подгруппа

группы
называется слабо квазинормальной в
подгруппой, если существует такая подгруппа
группы
, что
и
,
- квазинормальные в
подгруппы.

Следующий простой пример показывает, что в общем случае слабо квазинормальная подгруппа не является ни квазинормальной, ни

-нормальной.

Пример. Пусть

,

где

. И пусть
,
. Тогда
и
. Пусть
- группа простого порядка 3 и
, где
- база регулярного сплетения
. Поскольку
,
и
- модулярная группа, то
квазинормальна в
и поэтому подгруппа
слабо квазинормальна в
. Значит, подгруппа
является слабо квазинормальной в
, но не квазинормальной и не
-нормальной в
.