Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп (стр. 4 из 11)

В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и

-нормальным подгруппам, что говорит о несомненной актуальности данного направления. Следует отметить, что многими авторами (Асаад, Бакли, Баллестер-Болинше, Ванг, Вей, Ли, Педра-Агуэла, Рамадан, А.Н. Скиба, Сринивазан и др.) получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или квазинормальны. Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов независимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В данной работе такой параллелизм устраняется на основе введенного выше понятия слабой квазинормальности.

Таким образом, задача изучения групп с заданной системой слабо квазинормальных подгрупп вполне актуальна, ее реализации посвящена данная работа.

1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп

Определение. Подгруппа

группы называется слабо нормальной в подгруппой, если существует такая квазинормальная подгруппа группы , что и .

Докажем ряд общих свойств слабо нормальных подгрупп.

Пусть

- группа и

. Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Пусть

- нормальная в подгруппа. Тогда слабо нормальная подгруппа в группе тогда и только тогда, когда - слабо нормальная подгруппа в группе .

(2) Если

- слабо нормальная в подгруппа, то - слабо нормальная в подгруппа.

(3) Пусть

- нормальная в подгруппа. Тогда для всех слабо нормальных в подгрупп таких, что , - слабо нормальная подгруппа в группе .

Доказательство. (1) Пусть

- слабо нормальная в подгруппа и - такая квазинормальная в подгруппа, что

Тогда

, - квазинормальная в подгруппа и . Значит, - слабо нормальная в подгруппа.

Пусть теперь, для некоторой квазинормальной в

подгруппы мы имеем и

Ясно, что

Поскольку

то

и

- квазинормальные в подгруппы. Следовательно, - слабо нормальная в подгруппа.

Утверждение (2) очевидно.

(3) Пусть

- слабо нормальная подгруппа в группе и - квазинормальная в подгруппа такая, что и . Ясно, что и

Значит,

слабо нормальна в и ввиду (1), - слабо нормальная в подгруппа.

2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами

В данном разделе мы докажем некоторые критерии разрешимых, метанильпотентных, дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп в терминах слабо нормальных подгрупп.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 3.5.1.

Группа

разрешима тогда и только тогда, когда

, где

,

- подгруппы группы

такие, что каждая максимальная подгруппа из

и каждая максимальная подгруппа из

слабо нормальны в

.

Пусть

- группа тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1)

- разрешима;

(2)

, где , - подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо квазинормальны в ;