Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп (стр. 5 из 11)

(3)

, где , - подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо нормальны в .

Группа

метанильпотентна тогда и только тогда, когда

, где подгруппа

-квазинормальна в

,

- нильпотентна и каждая силовская подгруппа из

слабо нормальна в

.

Доказательство. Допустим, что

, где - -квазинормальна в , - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Покажем, что группа метанильпотентна. Предположим, что это не верно и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда справедливы следующие утверждения.

(1)

не является нильпотентной группой.

Предположим, что

нильпотентна. Так как ввиду леммы (3), субнормальна, то содержится в некоторой нильпотентной нормальной подгруппе из по лемме (2). Тогда

нильпотентна и поэтому

метанильпотентна. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (1).

(2)

.

Допустим, что

. Тогда ввиду леммы , нильпотентна, что противоречит (1). Значит, мы имеем (2).

(3) Если

- абелева минимальная нормальная подгруппа группы

, содержащаяся в

, то

метанильпотентна.

Пусть

- -группа и - силовская -подгруппа в . Тогда и поэтому по лемме каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Поскольку по лемме , -квазинормальна в ,

то условия теоремы справедливы для

. Так как , то ввиду выбора группы , метанильпотентна.

(4) Условия теоремы справедливы для

(это проямо следует из леммы ).

(5)

разрешима.

Если

, то метанильпотентна по (4)и выбору группы . Пусть теперь . Предположим, что для некоторой силовской подгруппы из мы имеем . Тогда ввиду (3), разрешима. Пусть теперь для каждой силовской подгруппы группы . Тогда по условию каждая силовская подгруппа из имеет квазинормальной дополнение в и поэтому нильпотентна. Полученное противоречие в выбором группы доказывает (5).

(6) В группе

имеется в точности одна минимальная нормальная подгруппа

, содержащаяся в

.

Пусть

- минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Тогда абелева согласно (5), и поэтому ввиду (3), метанильпотентна. Так как класс всех метанильпотентных групп. Кроме того, так как класс всех метанильпотентных групп является насыщенной формацией (см. ), то - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в .

(7) Если

-группа, то каждая силовская

-подгруппа из

, где

, имеет квазинормальное дополнение в

.