Смекни!
smekni.com

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп (стр. 6 из 11)

Пусть

- силовская
-подгруппа в
, где
. Тогда ввиду (6),
. По условию,
слабо нормальна в
и поэтому
имеет квазинормальную подгруппу
, такую что
и

Заключительное противоречие.

Пусть

- силовская
-подгруппа в
и
. Тогда

По условию

имеет квазинормальную подгруппу
, такую что
и

Тогда

и поэтому

- дополнение для
в
, которое является квазинормальной в
подгруппой. Если
-
-подгруппа из
, где
, то ввиду (7),
имеет дополнение в
, которое является квазинормальной подгруппой (см. доказательство утверждения (3) леммы ). Тогда по лемме ,
нильпотентна и поэтому
метанильпотентна. Полученное противоречие доказывает метанильпотентность группы
.

Обратно, предположим, что

метанильпотентна. Покажем, что каждая силовская подгруппа из
слабо нормальна в
. Предположим, что это не верно и пусть
- контрпример минимального порядка. Тогда
имеет силовскую подгруппу
, которая не является слабо нормальной в
. Пусть
- произвольная минимальная нормальная подгруппа в
и
- подгруппа Фиттинга группы
. Предположим, что
. Тогда
слабо нормальна в
и поэтому по лемме (1),
слабо нормальна в
, противоречие. Значит,
и поэтому

Так как по условию

метанильпотентна и
- силовская подгруппа в
, то
имеет нормальное дополнение
в
. Но поскольку
и
-
-группы, то
- нормальное дополнение для
в
. Следовательно,
слабо нормальна в
. Полученное противоречие показывает, что каждая силовская подгруппа из
слабо нормальна в
.

Пусть

- группа тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1)

- метанильпотентна;

(2)

, где подгруппа
субнормальна в
,
- абелева холлова подгруппа в
и каждая силовская подгруппа из
слабо квазинормальна в
;

(3)

, где подгруппа
-квазинормальна в
,
- нильпотентна и каждая силовская подгруппа из
слабо нормальна в
.

Пусть

, где подгруппа
-квазинормальна в
,
нильпотентна. Предположим, что любая максимальная подгруппа каждой нециклической подгруппы из
слабо нормальна в
. Тогда
сверхразрешима.