Смекни!
smekni.com

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп (стр. 7 из 11)

Доказательство. Предположим, что эта теорема не верна и пусть

- контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Каждая собственная подгруппа

группы
, содержащая
, сверхразрешима
.

Пусть

, где
. Тогда

где

нильпотентна и
-квазинормальна в
. Так как по лемме (2), любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из
слабо нормальна в
и
, то по выбору группы
мы имеем (1).

(2) Пусть

- неединичная нормальная подгруппа в
. Предположим, что
-группа. Допустим, что
содержит силовскую
-подгруппу
из
, или
циклична, или
. Тогда
сверхразрешима.

Если

, то

нильпотентна. Пусть теперь

. Так как
, то нам только нужно показать, что условия теоремы справедливы для
. Ясно, что

где

-квазинормальна в
и
нильпотентна. Пусть
силовская
-подгруппа из
и
- произвольная максимальная подгруппа в
. Пусть
- силовская
-подгруппа из
, такая что
. Ясно, что
- силовская
-подгруппа группы
. Значит,
для некоторой силовской
-подгруппы
из
. Предположим, что
не является циклической подгруппой. Тогда
не циклична. Покажем, что
слабо нормальна в
. Если
, то это прямо следует из леммы . Допустим, что либо силовская
-подгруппа
из
циклическая, либо
. Тогда
. Покажем, что
- максимальная в
подгруппа. Так как
и
, то

Предположим, что для некоторой подгруппы

из
мы имеем

где

Тогда

Так как

- максимальная в
подгруппа, то либо
, либо
. Если
, то

что противоречит выбору подгруппы

. Значит,
и поэтому мы имеем

противоречие. Следовательно,

- максимальная в
подгруппа и по условию
слабо нормальна в
. Значит,

слабо нормальна в

. Следовательно, условия теоремы справедливы для
.

(3)

и
сверхразрешима
.

По выбору группы

,
и поэтому
сверхразрешима согласно (1).

(4)

- разрешимая группа.

По условию

-квазинормальна в
и поэтому по лемме (3),
содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе
группы
. Так как группа
нильпотентна, то
разрешима.