Доказательство. Предположим, что эта теорема не верна и пусть
- контрпример минимального порядка. Тогда:(1) Каждая собственная подгруппа группы , содержащая , сверхразрешима.
Пусть
, где . Тогдагде
нильпотентна и -квазинормальна в . Так как по лемме (2), любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и , то по выбору группы мы имеем (1).(2) Пусть - неединичная нормальная подгруппа в . Предположим, что -группа. Допустим, что содержит силовскую -подгруппу из , или циклична, или . Тогда сверхразрешима.
Если
, тонильпотентна. Пусть теперь
. Так как , то нам только нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, чтогде
-квазинормальна в и нильпотентна. Пусть силовская -подгруппа из и - произвольная максимальная подгруппа в . Пусть - силовская -подгруппа из , такая что . Ясно, что - силовская -подгруппа группы . Значит, для некоторой силовской -подгруппы из . Предположим, что не является циклической подгруппой. Тогда не циклична. Покажем, что слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из леммы . Допустим, что либо силовская -подгруппа из циклическая, либо . Тогда . Покажем, что - максимальная в подгруппа. Так как и , тоПредположим, что для некоторой подгруппы
из мы имеемгде
Тогда
Так как
- максимальная в подгруппа, то либо , либо . Если , точто противоречит выбору подгруппы
. Значит, и поэтому мы имеемпротиворечие. Следовательно,
- максимальная в подгруппа и по условию слабо нормальна в . Значит,слабо нормальна в
. Следовательно, условия теоремы справедливы для .(3) и сверхразрешима.
По выбору группы
, и поэтому сверхразрешима согласно (1).(4) - разрешимая группа.
По условию
-квазинормальна в и поэтому по лемме (3), содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе группы . Так как группа нильпотентна, то разрешима.