Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп (стр. 8 из 11)

(5) Если

- простое число и

, то

.

Пусть

. Тогда ввиду (2), сверхразрешима. Если - множество всех простых делителей порядка группы , то по лемме (1), , где - нормальная -подгруппа группы и поэтому

сверхразрешима. Но тогда

сверхразрешима. Полученное противоречие с выбором группы

доказывает (5).

(6)

.

Допустим, что

. Тогда по лемме , нильпотентна. Пусть - силовская -подгруппа из . Так как ввиду леммы (3) субнормальна в , то субнормальна в . Тогда , согласно лемме (1). Но тогда ввиду (2), сверхразершима и поэтому , по выбору группы . Так как и

нильпотентно, то

- силовская -подгруппа из . Пусть - холлова -подгруппа из и . По лемме , нормальна в и поэтому . Допустим, что для некоторого простого делителя порядка , отличного от , мы имеем . Тогда нормальна в и поэтому - нормальная подгруппа в , поскольку . Но тогда , что противоречит (5). Следовательно, и поэтому . Согласно теореме , сверхразрешима и поэтому - абелева группа, экспонента которой делит , согласно леммы . Но тогда - абелева группа экспоненты, делящей и поэтому сверхразрешима, согласно леммы . Полученное противоречие с выбором группы доказывает (6).

Заключительное противоречие.

Пусть

- минимальная нормальная подгруппа в , содержащаяся в . Пусть - -группа и - силовская -подгруппа группы . В силу (2), сверхразрешима и поэтому - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Ясно, что и . Значит, по лемме для некоторой максимальной подгруппы из мы имеем . Ясно, что и поэтому по условию имеет дополнение в , которое является квазинормальной в подгруппой. Тогда

и поэтому

. Но тогда

и поэтому, ввиду минимальности

, . Ввиду (5), имеет холлову -подгруппу. Так как в силу леммы (3), субнормальна в , то каждая холлова -подгруппа группы содержится в . Следовательно, - -группа. Отсюда следует, что