Смекни!
smekni.com

Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп (стр. 9 из 11)

сверхразрешима. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Группа

дисперсивна по Оре тогда и только тогда, когда
, где подгруппа
квазинормальна в
,
дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы
слабо нормальна в
.

Доказательство. Пусть

, где подгруппа
квазинормальна в
,
дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы
слабо нормальна в
. Покажем, что группа
дисперсивна по Оре. Предположим, что это не верно и пусть
- контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Каждая собственная подгруппа

группы
, содержащая
, дисперсивна по Оре
.

Пусть

, где
. Тогда

где

дисперсивна по Оре и
квазинормальна в
. Так как по лемме (2) любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из
слабо нормальна в
и
, то по выбору группы
мы имеем (1).

(2) Пусть

- неединичная нормальная подгруппа в
, являющаяся
-группа для некоторого простого числа
. Допустим, что либо
содержит силовскую
-подгруппу
из
, либо
циклична, либо
. Тогда
дисперсивна по Оре.

Если

, то

дисперсивна по Оре. Пусть теперь

. Так как
, то нам лишь нужно показать, что условия теоремы справедливы для
. Ясно, что

где

квазинормальна в
и
дисперсивна по Оре. Пусть
силовская
-подгруппа из
и
- произвольная максимальная подгруппа в
. Пусть
- силовская
-подгруппа из
, такая что
. Ясно, что
- силовская
-подгруппа группы
. Значит,
для некоторой силовской
-подгруппы
из
. Предположим, что
не является циклической подгруппой. Тогда
не циклична. Покажем, что
слабо нормальна в
. Если
, то это прямо следует из леммы . Допустим, что либо силовская
-подгруппа
из
циклическая, либо
. Тогда
. Покажем, что
- максимальная в
подгруппа. Так как
и
, то

Предположим, что для некоторой подгруппы

из
мы имеем

где

Тогда

Так как

- максимальная в
подгруппа, то либо
, либо
. Если
, то
, что противоречит выбору подгруппы
. Значит,
и поэтому мы имеем

противоречие. Следовательно,

- максимальная в
подгруппа и по условию
слабо нормальна в
. Значит,