Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра ТВ и матстатистики
Курсовая работа
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ СЛАБО НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП
Исполнитель:
Студент группы М-32 Макарченко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Малинковский М.Т.
Гомель 2007
Содержание
1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп
2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными.
Будем различать знак включения множеств
и знак строгого включения ; и - соответственно знаки пересечения и объединения множеств; - пустое множество; - множество всех для которых выполняется условие ; - множество всех натуральных чисел; - множество всех простых чисел; - некоторое множество простых чисел, т.е. ; - дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;примарное число - любое число вида
;Пусть
- группа. Тогда: - порядок группы ; - порядок элемента группы ; - единичный элемент и единичная подгруппа группы ; - множество всех простых делителей порядка группы ; - множество всех различных простых делителей натурального числа ; -группа - группа , для которой ; -группа - группа , для которой ; - подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ; - подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ; - наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ; - коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ; - -ый коммутант группы ; - наибольшая нормальная -подгруппа группы ; - -холловская подгруппа группы ; - силовская -подгруппа группы ; - дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская подгруппа группы ; - группа всех автоморфизмов группы ; - является подгруппой группы ; - является собственной подгруппой группы ; - является максимальной подгруппой группы ;нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;
- является нормальной подгруппой группы ; - подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ; - индекс подгруппы в группе ; ; - централизатор подгруппы в группе ;