Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций (стр. 3 из 6)

т.е.

для любого . Очевидно, сто последнее неравенство верно и при . Интегрируя почленно это неравенство по промежутку , где - любое положительное число, большее двух, получаем

т.е.

вопреки выбору числа . Полученное противоречие и доказывает лемму.

Лемма2.Функция

имеет хотя бы один положительный нуль.

Доказательство. Допустив противоречие, получим, что согласно лемме1, функция

обладает хотя бы одним положительным нулём , а тогда (по формуле удвоения для функции ) будем иметь

,

т.е.

- положительный нуль функции , но это противоречит допущению.

Замечание. Если

, то и для любого .

Доказательство. Для

, -это известно.

Пусть для

утверждение верно, т.е. . Докажем справедливость утверждения для .

Используя свойство 4, вычислим

:

т.к.

и .

5. Существует наименьший положительный нуль функции

.

Доказательство. Обозначим через

множество положительных нулей функции . Это множество бесконечно (на основании леммы 2 и замечания к ней) и ограничено снизу (например, числом 0). Пусть . Очевидно, что . Предположим теперь, что функция не обладает наименьшим положительным нулём. С учётом этого предположения и определения точной нижней грани множества получаем, что - предельная точка множества . Теперь легко убедиться, что является одним из нулей функции . Действительно,

(здесь мы воспользовались непрерывностью функции

и теоремой о пределе функции (в нашем случае ) в точке по данному множеству , для которого является предельной точкой). Отсюда следует, что (поскольку в случае число было бы наименьшим положительным нулём функции вопреки сделанному выше предположению).

Но при

имеем

т.е.

. Поскольку полученное равенство ложно, то наше допущение об отсутствии наименьшего положительного нуля функции неверно, и тем самым требуемое свойство доказано.

Обозначим наименьший положительный нуль функции

через . Выясним свойства функций и , прямо или косвенно связанные с числом ( ).

6. Функция

положительна на интервале и отрицательна на интервале .

7. Функция

убывает на и возрастает на .

8. Числа вида

и только эти числа являются нулями функции .

Доказательство. Согласно замечанию к лемме 2,

( ). Если же ( ), то . Для доказательства этого допустим противное, т.е. предположим, что существует число ( ), такое что . Без ограничения общности (учитывая нечётность функции ) можем считать, что . Пусть . Положим . Очевидно, что . Кроме того, на основании свойств 2 и 4 получим