Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций (стр. 1 из 6)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математики и информатики
Курсовая работа
«Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций»
Выполнил:
студентка 362 группы
Латфуллина Р.А.
Научный руководитель:
к.ф.-м.н., доцент
Шармина Т.Н.
Тюмень - 2010
Содержание
Глава1. Функции 
, 
как решения некоторых задач Коши. 5
Глава2. Аналитическая теория тригонометрических функций. 16
Введение
Данная курсовая работа посвящена изучению и анализу различных способов определения тригонометрических функций.
Тригонометрические функции являются важной составной частью содержания математического образования, как в средних, так и в высших учебных заведениях и часто встречаются в различных приложениях математики. С их помощью могут быть построены и изучены математические модели процессов реального мира. Для школьных учителей полезно знать различные подходы к определению и изучению свойств тригонометрических функций. Имеется не так много математической литературы в которой теория элементарных функций излагается последовательно и подробно разными методами. В этом и заключается актуальность данной темы.
Объектом нашего исследования мы выбрали тригонометрические функции. Предметом же является способы их определения.
Целью курсовой работы является изучение и анализ различных способов определения тригонометрических функций.
Для достижения цели мы поставили следующие задачи: изучить математическую литературу, проанализировать способы определения тригонометрических функций и доказать свойства этих функций на основе соответствующего способа определения.
Курсовая работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.
В главе 1 излагается способ построения теории функций
, , основываясь на использовании теоремы существования и единственности решения соответствующей задачи Коши и простейших сведений из дифференциального и интегрального исчисления. Также в этой главе приведены доказательства основных свойств этих функций.Глава 2 посвящена рассмотрению теории тригонометрических функций на базе степенных рядов и установлению эквивалентности нового и традиционного определения таких функций.
Также в работе проведены доказательства некоторых свойств тригонометрических функций.
Глава1. Функции , как решения некоторых задач Коши
Для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами теорема существования и единственности решения задачи Коши формулируется следующим образом.
Теорема1. Дифференциальное уравнение
,где
; 
; 
; 
, имеет на 
единственное n-кратно дифференцируемое решение 
, удовлетворяющее условиям 
(здесь
- произвольно заданные фиксированные действительные числа).Очевидно, что это решение обладает на
непрерывными производными всех порядков.В частности, когда
, указанное в теореме 1 решение тривиально ( 
на ).Рассмотрим следующие две задачи Коши:
, 
, 
; (1) , 
, 
, (2)где
; 
; 
. Их решения обозначим соответственно через 
и 
. Согласно теореме 1, эти решения определены, непрерывны и бесконечно дифференцируемы на всей числовой прямой, причём 
, 
. Однако основные свойства функций , установим, исходя из определения их как решения задач (1) и(2).1.
, 
( 
).Действительно, так как
и - решения уравнения , то 
, 
, откуда 
, 
. Это значит, что каждая из функций 
, 
также являются решением уравнения . При этом решения 
и 
удовлетворяют одним и тем же начальным условиям: 
, 
. Следовательно, по теореме существования и единственности 
на , т.е. для .Аналогично убеждаемся и в справедливости соотношения
( ).2. Функция
нечётная, а чётная.Доказательство: Прежде всего, области определения этих функций (совпадающие с
) симметричны относительно точки 
. Покажем теперь, что 
и 
при любом 
.Вводя в рассмотрение функции
и 
(тогда 
, 
) и учитывая свойство 1, будем иметь: