Числовой ряд

1.числовой ряд.Сходимость ряда.св-ва сходящихся рядовЧисловой ряд — бесконечная последовательность чисел соединенная знаком +. Ряды задаются 1.перечислением первых несколькихъ членов 1+1/2+1/3+1/4+….2. формулой общего члена. Если частичных сумм при n->∞ существует и равен конечному чисоу то соответствует ряд называется сходящийся и его сумма равна Si в противном случае ряд расходящийсяЕсли основание >1 ряд сходитсяЕсли основание < 1 ряд сходитсяЕсли основание=1 ряд расходитсяЕсли основание равно =-1 то предел не существует и ряд расходитсяСв-ва сходящихся рядов1.Если ряд а1+а2+а3+…an сходится то и ряд сходится2. Пусть ряд и и их сумма =S1. S2 тогда ряд также сходится3. если ряд сходится аn тогда и сходится и ряд полученный из данного путем отбрас конечного числа члена4. для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно чтобы при n->∞ остаток ряда стремится к 0	2. Ряды с положительными членами. признаки сходимости.1. необходимый признгак сходимости если ряд сходиттся то предел его общего члена при n->∞=0Если предел общего члена не равен 0 то рад расход2. признак сравненияЕсли сходится ряд 2 то сходится и 1. Если расход 1 то и расход 2.Ряды используемые для сравнения1. Геометрич2. Гармонический3. Обобщенный гармонический ряд3.предельный признак сравненияЕсли и ряды с положит членами и сущ конечный предел членов стрем к ∞ то ряды сходятся или расход одновременно4. Признак даламбераПусть ряд с положите членами при n->∞ сущ =LТогдаЕсли L<1 расходЕсли L>1 расходЕсли L=1 не раб5.Радикальный признак КошиЕсли ряд сходится с положит членами суш предел Если L<1 сходЕсли L>1 расходЕсли L=1 не работает6. Интегральный признакДля сходимости ряда необходимо и достаточно чтобы сходился не собств интеграл	3.Знакочередующие ряды. Признак Лейбница. абсолютная и условная сходимостьЗнакопеременные ряды назыв если его члены произвол знакаУсловие необходимости: если ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда сходится и данный ряд тоже.Ряд назвается абсолютно сходящ если сходится как сам ряд так и ряд сставленный из абсолют величины его членаРяд называется условно сходящ если сам ряд составл из абсолютных величин.(расход)Теорема пр-ка Лейбница: если член знакочередующ ряда убывает по абсолют величине и предел абсолют величины его общего члена =0 то ряд сходится а его сумма не превосходит его первого члена	4.Степенные ряды. Область сходимостиФункциональный ряд называют степенным если он имеет вид Функциональные ряды если его члены явл функ U1(x)+u2(x)+….+un(x)Все знач X при которых функц ряда сходится является областью сходимости функц рядаS(x) на области сход сумма ряда явл функ среди функ назыв степенные рядыАлгоритм нах обл сход1. Найдем радиус сход по одной из формул2. Строим интерв сход (-R;R)3. Ислед поведен ряда на границах интервала 4. Запис область
5. Ряд маклоренаДля того чтобы ряд маклорена сходлился в функции f(x) необходимо и достаточно чтобы n->∞ и остаток ряда стремился к 0.Если f(x) разложима ряд маклрена то это разложение единственно	6. Периодические поцессы. Тригонометрический ряд ФурьеПериодические функции f(x)с периодом T если x+t€ области определения и F(x+t)=f(x)Простейшим гармоническим процессом является простое гармон колебание которое описыв функц y=A(sin(wt-γ0)А-амплитуда, w-чистота колеб, t- время, γ- номинальная фазаТригонометрич рядом наз функционал ряд вида	7.Разложение ряда фурье функций 2птеорема Дирихле.1. F(x) кусочно непрерывный т.е непрерывна илиимеет конечное число точек первого рода2. f(x) кусочно-монотонно т.е на всем отрезке или на том отрезке можно разюбить на конечное число отрезков. Тогда соответств функции F(x) ряд фурье сход на этом отрезкеРазложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов	8. Разложение ряда фурье четных и нечетных функций.Пусть функция y = f(x) задана на сегменте [п,-п]и удовлетворяет условиям Дирихле.Пусть функция f(x)–чётная и удовлетворяет теореме Дирихле. Тогда функции f(x)*cosnx–нечётные, а f(x)*sinnx – при любых n=1,2,... Поэтому , Пусть функция f(x)нечётная и удовлетворяет теореме Дирихле. Тогда функции f(x)*cosnx– нечётные, а f(x)*sinnx– четные при любых n=1,2,... Поэтому a0=0, an=0
9.Применение рядов в приближенных вычислениях (1) и требуется хотя бы приближенно, вычислить значение f(x) для каких – либо значений x, то естественно пользоваться приближенными формулами f(x)≈Sn(x) (2) где Sn(x)-частичная сумма ряда. При вычислении по формулам (2) может быть достигнута любая точность в силу равенства (1), но возможно, что потребуется брать Sn(x) с очень большим номером n. Не всегда легко оценивать прогрешнсть формулы (2) это посто сделать для знакочередующегося ряда, но если ряд не знакочередкющийся, а например положительный то приходится подтыскивать мажорантный ряд для него n-го остатка данного ряда и подыскивать еготак чтобы его сумма легко вычисляласьЕсли ряд (1) настолько медленно сходится, что не пригоден для приближенного вычисления его суммы f(x) то обычно стараются построить другой более быстро сходящийся ряд с той же суммой f(x)	10. Основные принципы комбинаторики. Примеры. Основные формулы комбинаторикиПринцип суммыЕсли некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов N1 способами, а объект ВN2 способами, то выбор либо объекта А либо объекта В может быть осуществлен N1+N2 способами.Принцип произведенияЕсли объект А может быть выбран из совокупности объектов N1 способами, а после такого выбора объект В может быть выбран N2 способами, то пара объесков А и В могут быть выбраны N1*N2 способами.Или это +И это *Формулы соединения кобинаторики1) Число комбинаций содержащих m элементов взятых из данных m и отличающихся друг от друга и составом элементов или их порядком назыв размещения из n по m обознач 2) комбинации содержат n-эементов которое отличается друг от друга порядком след элементов назыв перестновками по n или Pn=n!3)число комбинаций содержит m элементов взятых из данных n которые отличаются элементами называется сочетаниями из n по m	11. Предмет теории вероятности. СобытиеСобытие-возможный рез-тат некоторого испытания1.Достоверные-событие которое всегда наступает в рез-те испытания2.Невозможное,событие которое никогда не наступает в рез-те испытания3.Случайное,событие которое может наступить,а может и не наступить в рез-те испытания.Теория вероятности наз-ся изучением закономерности массовых,многократных,однородных, случайных событий.1.Совместные события-если появление одного из них не исключает появление остальных.2.Несовместное событ.-появление одного не исключают появления другого в одном испытанииНесколько событий образуют полную группу событий если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.Если два несовместных события образуют полную группу они называются противоположнымиСобытия называется равновозможными если появление ни одного из них не является объективно более возможным чем другие.События называются неравновозможными если появление хотя бы одного из них является более возможным чем другие.Случаями называются несовместные равновозможные и образующие полную группу события.	12.классификация случайных событийСобытия называется несовместными в данном опыте если появление одного из них исключает появление другого. События называется совместными если появление одного из них не исключает появление остальных.Несколько событий образуют полную группу событий если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.Если два несовместных события образуют полную группу они называются противоположнымиСобытия называется равновозможными если появление ни одного из них не является объективно более возможным чем другие.События называются неравновозможными если появление хотя бы одного из них является более возможным чем другие.Случаями называются несовместные равновозможные и образующие полную группу события.
13.Операции над событиями1.Суммой событий а и b наз-ся новое событие состоящее хотя бы одного из этих событий если (∞)то этот ряд_____ сумма будет сущ.если ряд сходится.2.Произведение 2-х событий состоящее в наступление обоих событий	14.Отнсительная частота события. Св-ваОтностельной частотой событий называется отношение чисел испытаний закончившихся появлением событий к числу всех испытаний W(A)=m/nm-сколько раз появлялось событие n- сколько раз поводилось событиеСв-ва частоты1) относительная частота невозможного события=02)относит частота достоверного события =13)Отнсит частота случайного события =1	15.Статистическое определение вероятности. Св-ваВероятность события называется число вокруг которого группируются относительные частоты событийСв-ваДостоверного 1Невозможн 0Случайного 1	16.Класическое определение вероятностию. Св-ваВероятностью события А наз-ют отношение числа исходов благоприятствующих появлению событияА- число исходовСв-ваДостоверного 1Невозможн 0Случайного 1
17.Геометрическое определение вероятности. Св-ваОтношение меры благоприятно появляется событие к общей мере отношений.Св-ваДостоверного= 1Невозможн= 0Случайного =1	18. Теорема сложения вероятностей несовместных событийВероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:Р(А1+А2)=Р(А1)+Р(А2)Следствие1. вероятность суммы nне совм событ = сумме их вероятности P(A1+A2+…..An)= Р(А1)+Р(А2)+…Р(An)2.сумма вероятности n несовм событий образующ полную группу=13. Р(А)+Р( =1	19. Теорема умножения вероятностей.Событие А называется зависимым от события В если его вероятность меняется в зависимости от того произошло событие В или нет.Для независимых событий условная и безусловная вероятность совпадают.Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на вероятность другого вычисленную при условии, что первое событие имело место. Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(В/А)Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий причем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место. Р(А1;А2…Аn)=Р(А1)*Р(А2/А1)*… *Р(Аn/А1,А2…Аn-1)	20. Теорема сложения вероятностей совместных событийВероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.Р(А)+Р(В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)Вероятность появления хотя бы одного событияВероятность появления события А заключающееся в наступлении хотя бы одного из независимых совокупностей событий .А1,А2…Аn равна разности между единицей и произведением вероятности противоположных событий А1,А2…Аn Р(А)=1-q1*q2*…*qn
21. Формула полной вероятностиПусть событие А может появиться вместе с одним из образующих полную группу попарнонесовместных событий Н1,Н2…Нn называемых гипотезами, тогда вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на вероятность события А при этой гипотезе	22. Формулф БайесаПусть имеется полная группа попарнонесовместных гипотез Н1,Н2…Нn с известными вероятностями появления. В результате проведения опыта появилось некоторое события А, требуется переоценить вероятности гипотез при условии, что событие А произошло	23.Формула Бернули. Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.Формула Бернулли — формула в теории вероятности, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний.Следствия: 1)Вероятность того что события испытаний наступит не менее к1 и не более к2 2) Вероятность того что в n-опытах событие А появится хотя бы 1 раз Pn=1-	24 Формула Пуассона.При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:
25 Локальная теорема Лапласа.Если число испытаний велико (n→∞) , вероятность появления события постоянна и отлична от нуля и от единицы, то вероятность того, что в n испытаниях событие наступить ровно k раз равна (чем больше n, тем точнее) следующему выражению. ;	26 Интегральная теорема ЛапласаТеорема. Если вероятность Pпоявления события Aв каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k1,k2) того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна определенному интегралу . В ней приведены значения функции Ф(х)(которую называют функцией Лапласа) Св-ва: Если x>5, то Ф(х)=0.5. Для х<0 пользуются той же таблицей и свойством нечетности функции Лапласа, то есть Ф(-х)=-Ф(х)Следствие: Если имеет место повторения испытания исполнения то число К в наступлении события А отличается от произведения np неболее чем на величину E по абсолютной величине. Вычисляется по формуле частотность(m/n) событие А заключена (£<β)Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности вычисляется по формуле	27. наивероятнейшее число появления событияNp-q≤k0≤np+p (n - число испытаний; p - вероятность появления события при одном испытании)1.Границы дробные k0 ед. целое число из полученного промежутка2. Если границы целые то принимает два возможных значения имеющих одинаковую вероятность	28. Простейший поток событийПоток событий- последовательность событий которые наступают в случайные моменты времени. Св-ва 1. Св-во стационарности-вероятность к появлению К собыбий в любой промежуток времени.2. Св-во отсутствий последствий-взаимная независимость того или инного числа событий в непеременающие моменты времени3 Св-во Ординарности-когда бесконечно малый промежуток времени появляется не более одного событияПоток событий который обладает св-ми стациорнарности отсутствия последственности всеми тремя назыв простейшими или пуасоновскими. Среднее число событий которое появляется в ед времени назыв интенсивности потока.
29 Случайная величина. закон распределения вероятностейС.В в результате принимает то или инное значение но заранее до пыта не известнаЗакон распределения С.В. называют соответствие между возможными знгачениями случайной величины к соответствующими вероятности этих возможных значенийСпособы задания : 1. Табличный 2. Графический 3. АналитическийДискретными называются случайные величины принимающие отдельные изолированные друг от друга значения, которые можно переоценить.Ряд и многоугольник распределения.Простейшей формой закона распределения дискретной величины является ряд распределения. Графической интерпретацией ряда распределения является многоугольник распределения.Непрерывными величины возможные значение которых непрерывно заполняют некоторый диапазон.	30 Функция распределения С.В и ее св-ва Для непрерывных случайных величин применяют такую форму закона распределения, как функция распределения.Функция распределения случайной величины Х, называется функцией аргумента х, что случайная величина Х принимает любое значение меньшее х (Х<х)F(х)=Р(Х<х)F(х) - иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.Св-ва:1. F(x)определена на всей числовой прямой R;2.F(x)не убывает, т.е. если x1 ≤x2, то F(x1)≤ F(x2);3. и 4.F(x) непрерывна справа, т.е.	31 Плотность распределения С.В и ее св-ваПлотность распределения вероятности непрерывной случайной величины Х называется функция f(х) равная первой производной от функции распределения F(х)График плотности распределения называется кривой распределения. Основные свойства плотности функции распределения:1. 1. f(х)>02. 2. 3. 3 4. 4.	32 Математическое ожидание С.В. СвойстваМатематическим ожиданием случайной величины х (M[x])называется средне взвешенно значение случайной величины причем в качестве весов выступают вероятности появления тех или иных значений.Для дискретной случайной величины Для непрерывной Математическое ожидание случайной величины всегда больше наименьшего значения и меньше наибольшего.Св-ваМ(с)=СМ(сх)=СМ(х)М(х±У)=М(х)±М(У)М(х*У)=М(х)*М(У)М(х±С)=М(х)±С
33Дисперсия С.В. Свойства. Средне квадратическое отклонениеДисперсия Дисперсия (D[x]) характеризует рассеивание или разряженность случайной величины около ее математического ожидания.Для дискретных Для непрерывных Дисперсия случайной величины всегда величина положительнаяРазмерность дисперсии равна квадрату разности случайной величиныСв-во: 1.D(c)=02.D(cx)= D(x)3.D(x)=M( Среднеквадратическое (стандартное) отклонение .	34 Мода и медиана С.ВМода СВ наиболее вероятное значение СВМедиана- называет такое ее значение относит которого равновероятного получения большего или меньшего значения С.В	35 Закон распределения Дискретных С.ВСоотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределениядискретной случайной величины. Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически. Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения. Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.Распределение дискретных случайных величин для некуоторых ряд распределения задается формулой бернули	36 Закон распределения непрерывных С.ВС В имеет равномерное распределение если на отрезке АВ плдотность распределения= постояннаа вне этого отрезка =0
37 Нормальный Закон распределения. Правило трех сигмНормальный закон распределения также называется законом Гаусса. Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения. Правило трёх сигм При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм.вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.Это правило называется правилом трех сигм.На практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.	38 Предмет мат.статистики. Основные понятия. Выборочный методИследуемые признаки все объекты обладающие этим признаком образуют генеральную совокупностьN-объем генеральных совокупностейn- объем выборки, кол-во которых были подвергнуты иследованию Выборка представляет совокупность n чиселНаблюдаемое значение признака наз-ся вариантален обозначим через Хi из чисел найти самое большое и самое маленьеое xmin и xmaxСовокупность чисел (x1,x2….xn), полученных в результате n-кратного повторения опыта по измерению генеральной совокупности x, называется реализацией случайной выборки или просто выборкой объёмаn.В основе большинства результатов математической статистики лежит выборочный метод, состоящий в том, что свойства генеральной совокупности x устанавливаются путём изучения тех же свойств на случайной выборке.1.Если n не велико то выборку просто ронжируют в порядке возвр и убывания2.Если среди вариантов имеются повтряющие то строят дискрет вариационный рядВыборка бывает повторная и бесповторнаяПовторной называют при которрой отборный эффект возвращается в генеральную совокупностьБесповторной называю при которой отборный объект в ген совокуп не возвращается.На практике используют чаще всего бесповторную	39 Представление выборкиГрафическое представление выборки1) Полигон- для представления дискретного вариационного ряда представляет собой ломанную с вершинами Wi=ni/n2) Гистограмма фигура поставленная из прямоугольн основаниями которые являются интервлы длиной n и высотыДля гистограмма частот m/nОтносит частот Wi’/nИмперическая функция распределения выступает кумулятивная кривая для дискретного ряда представляет собой ломанную соед точками XiNi	40 Числовые храктеристики выборкиВыборочная средняя - это, очевидно, средняя арифметическая из случайных величин (Х1; Х2; …Хn): Выборочная дисперсияDв1)Dв= 2)Dв= 3) Мода- наз-е вариант у котор имеется наибольшая частота Х0- начало модального интервала имеюх мах частотуh- длина интервалаni- частота модал интервалаni-1-частота предмодальнаяni+1 – частота постмодальнаяМедиана-значение серединного элемента вариационного ряда X0-начало медианного интервала. hi – частотаTi-1-сумма частот интервалов предеств к медианному
41 Оценка параметров распределения. Требования к оценке. Точечные оценкиОценка является случайной величиной .Требования к оценке.1. должна быть не смещенной не должно быть ни всторону повышения ни в сторону занижения M(θ*)=θ2. возможные значения (θ*) должны быть менее рассеяны в округление среднего значения D(θ*)->θ3. состоятельность оценки означает что при увеличении объема выборки значение оценки должно-> к истинному знач оценивающий параметра при увеличении объема выборки.1) выборочная средняя является не смещенной состоят эффектив оценки для генеральн среднего т.е для матожидания ислед признака2) Выборочная дисперсия является смещенной и состоят оценкой для генеральной писперсииНесмещенной и состоят дисперсией является исправленнная выборочная Д оценки описывающие одним числом назыв точечнымиS-точност оценкиЧем меньше сигра тем лучше оценки.	42. Оценка параметров распределения. Требования к оценке. Интервальные оценкиОценка является случайной величиной .Требования к оценке.1. должна быть не смещенной не должно быть ни всторону повышения ни в сторону занижения M(θ*)=θ2. возможные значения (θ*) должны быть менее рассеяны в округление среднего значения D(θ*)->θ3. состоятельность оценки означает что при увеличении объема выборки значение оценки должно-> к истинному знач оценивающий параметра при увеличении объема выборки.Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами—концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценокЧем γ ближе к ед то интервал большеДоверительный интервал для оценки нормальн распределения σ Доверительный интервал для оценки нормальн распределения при не известном σ Доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения нормального распределеного признака	43 понятие о стат. Гипотезе и ее проверкаДля проверки гипотез используют специально подобранные С.В называемые критериями точное распределение которых известно. Все множество значений критерия делится на критическую область и обюласть принятия гопотез.Критерии бывают правосторонние, левосторонние и двухсторонние	44. критерии согласия ПирсонаКритерий Пирсона, или критерий χ2 (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.