Теория игр, рафический метод в теории игр (стр. 3 из 4)

Алгоритм:

1) Через концы горизонтального отрезка [0;1] провести два перпендикуляра к нему: левый и правый. Каждой точке отрезка [0;1] будем ставить некоторую смешанную стратегию (x;1− x).

2) На левом перпендикуляре от точки 0 отложить элементы

. На правом перпендикуляре от точки 1 отложить элементы .

Замечание. Масштабы на левом и правом перпендикулярах должны быть

одинаковы, не обязательно совпадающие с масштабом горизонтального отрезка [0;1].

3) Соединить отрезками элементы .

4) Выделить нижнюю огибающую всех построенных отрезков, и найти максимальную точку (точки). Пусть точка является пересечением отрезков

и . Тогда оптимальную стратегию можно найти при помощи матрицы .

Решить игру с платежной матрицей A=

графически.

Решение:

1. Через концы горизонтального отрезка [0;1] проведем 2 перпендикуляра к нему. Каждой точке отрезка [0;1] будем ставить смешанную стратегию (x; 1− x).

2. На левом перпендикуляре от точки 0 отложить элементы 2, 3, 11. На правом перпендикуляре от точки 1 отложить элементы 7, 5, 2.

3. Соединить отрезками элементы 2 и 7, 3 и 5, 11 и 2.

4. Выделим нижнюю огибающую всех построенных отрезков, и найдем

максимальную точку. Точка является пересечением отрезков [3;5] и [11;2]. Тогда оптимальную стратегию можно найти при помощи матрицы

.

Решим игру с платежной матрицей

.

Оптимальные стратегии игроков и цену игры можно найти, решив системы:

Ответ: оптимальные стратегии игроков оптимальные стратегии игроков

, цена игры

2.Решение игр с платежной матрицей m×2

Решить игру с платежной матрицей A=

.

Алгоритм:

1) Через концы горизонтального отрезка [0;1] провести два перпендикуляра к нему: левый и правый. Каждой точке отрезка [0;1] будем ставить некоторую смешанную стратегию (y;1− y).

2) На левом перпендикуляре от точки 0 отложить элементы

. На правом перпендикуляре от точки 1 отложить элементы .

3) Соединить отрезками элементы .

4) Выделить верхнюю огибающую всех построенных отрезков, и найти минимальную точку (точки). Пусть точка является пересечением отрезков Тогда оптимальную стратегию можно найти при помощи матрицы

.

Пример. Решить игру с платежной матрицей A=

.

Решение:

Решим графическим методом.

1. Через концы горизонтального отрезка [0;1] проведем 2 перпендикуляра к нему. Каждой точке отрезка [0;1] будем ставить смешанную стратегию (y; 1− y).

2. На левом перпендикуляре от точки 0 отложить элементы 6, 4, 2, 1. На правом перпендикуляре от точки 1 отложить элементы 5, 6, 7, 8.

3. Соединить отрезками элементы 6 и 5, 4 и 6, 2 и 7, 1 и 8.

4. Выделим верхнюю огибающую всех построенных отрезков, и найдем минимальную точку. Точка является пересечением отрезков [6;5] и [1;8]. Тогда оптимальную стратегию можно найти при помощи матрицы

.

Решим игру с платежной матрицей

Ответ: оптимальные стратегии игроков оптимальные стратегии игроков

, цена игры

Практическая Часть

1. Решить Систему

1.1 По формулам Крамера

Решение.

1)Составим определитель

из коэффициентов стоящих при неизвестных в системе.

2)Тогда по теореме Крамера:

3)Проверка:

Ответ:

1.2 Методом Гаусса

Решение.

1)Составим расширенную матрицу системы:

2)Преобразим расширенную матрицу к ступенчатому виду:

3)Расширенная приведена к расширенному виду. Получили следующую систему уравнений:

Ответ:

4. Решить транспортную задачу, заданную таблицей . Спланировать перевозки так, чтобы общая их стоимость была минимальной.

Пункт отправления	В1	В2	В3	B4	В5	Запасы, аi (тонн)
А1	14	8	17	5	3	120
А2	21	10	7	11	6	180
А3	3	5	8	4	9	230
Потребности, bj (тонн)	70	120	105	125	110	530

5. Распределить а=100 единиц средств по четырём предприятиям с целью получения максимальной суммарной прибыли.

x	g1	g2	g3	g4
0	0	0	0	0
20	18	59	81	72
40	94	39	66	64
60	52	115	98	81
80	143	67	139	140
100	111	116	126	133

Решение.