Старший и верхний центральный показатели линейной системы (стр. 2 из 6)

Рассмотрим какое-либо семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:

P =

, ,

зависящие от параметра

непрерывна в том смысле, что из следует равномерно, по крайней мере, на каждом конечном отрезке .

Определение 1.7 [ 2,с.103]. Ограниченная измеримая функция

называется верхней или C-функцией для семейства P, если все функции этого семейства равномерно не превосходят в интегральном смысле функции :

,

то есть, если

,

где

─ константа, общая для всех и , но, вообще говоря, зависящая от выбора и .

Определение 1.8 [2, с.103]. Совокупность всех верхних функций назовем верхним классом или C-классом семейства P, и обозначим через

(P).

Определение 1.9 [2,с.103]. Число

назовем верхним центральным или C-числом семейства P. Оно обозначается также через

или .

Утверждение 1.1 [2, с. 104]. Если существует такая C-функция

, что

для всех

, то эта функция одна образует верхний класс и C-число совпадает с :

.

Замечание 1.3 [2,с.102]. Для упрощения записи введем обозначение

Определение 1.10 [2,с.115]. Центральное число семейства P будем называть центральным показателем системы

.

Определение 1.11 [2,с.106]. Разобьем полуось

точками 0,T,2T,… на промежутки

.

Пусть

.

Найдем

.

Замечание 1.4 [2,с.106]. Число

совпадает с

и знак можно заменить на , то есть

.

Определение 1.12 [2,с.107]. Пусть

─ любая ограниченная кусочно непрерывная функция, для которой

.

Замечание 1.5 [2,с.107]. Такие функции существуют: достаточно положить

на равной одной из тех функций , для которых достигается максимальное значение

.

Утверждение 1.2 [2,с.537]. Верхнее среднее значение любой ограниченной кусочно непрерывной функции, а в частности функции

, где произвольное, равно

.

Утверждение 1.3 [2,с.114]. Пусть

,

─ ее решение и

P =

─

семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций, где

.

Тогда старший показатель этой системы равен наибольшему из верхних средних значений функций

семейства P, то есть

.

2. СООТНОШЕНИЕ

.

Рассмотрим какое-либо семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:

P =

, ,

зависящее от параметра

непрерывно в том смысле, что из следует равномерно, по крайней мере, на каждом конечном отрезке .

Для доказательства соотношения

нам потребуется доказать несколько утверждений и следствий.

Утверждение 1.

Если семейство сужается, то его верхний класс может только расшириться, а верхнее число уменьшиться, то есть из

P’

P

следует

(P’) (P)

и

_.

Доказательство.

Всякая верхняя функция

для семейства P является верхней и для P’, так как P’ P. Значит,

(P) (P’).

По определению 1.9

.

Из того, что

(P) (P’)

следует

.

А значит,

.

Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2.

Если семейство P’ состоит из одной функции

, то есть P’= , то верхнее среднее значение функции совпадает с верхним центральным числом семейства P’, то есть