Старший и верхний центральный показатели линейной системы (стр. 4 из 6)
где
(P).3.2 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с постоянными коэффициентами. Случай 
.
Исследуем случай, когда матрица системы с постоянными коэффициентами является диагональной. Найдем для нее
и 
.Рассмотрим диагональную систему
,где
─ вектор-функция размерности 
, 
─ некоторые числа, 
.Она имеет матрицу Коши
,то есть
,с нормой
.Рассмотрим следующую лемму.
Лемма*.
Пусть
─ некоторое число. Тогда 
.Доказательство.
По определению 1.6
.Имеем,
. Что и требовалось доказать.На основании предыдущего пункта заметим, что
.Тогда
.Теперь покажем, что
.Пусть
.Так как для любого
,то по определению 1.7
(P).Тогда по определению 1.9 и лемме*
.Так как
выполняется всегда, то
.Следовательно, для диагональной системы с постоянными коэффициентами всегда
.4 ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАРШЕГО И ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДЛЯ ЗАДАННОЙ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ 
.
4.1 Вычисление старшего показателя системы.
Рассмотрим систему
(1)Решим ее.
, 
,получили уравнение с разделяющимися переменными.
, 
, 
, 
.Общее решение системы (1) имеет вид:
Возьмем 1)
2)
тогда получим два решения системы:
. 
Составим матрицу решений системы (1).
. Проверим ее на фундаментальность:
.Следовательно [1,с.70], матрица
фундаментальна.Перейдем к вычислению показателей решений
.По определению [1,с.20] вычислим норму:
; 
.По определению 1.2 вычислим характеристические показатели, используя лемму 1.1:
, 
. 
,так как функции
и 
ограниченные. 
.Проверим на несжимаемость систему вектор-функций
, используя определение 1.3.Составим линейную комбинацию
, где 
,и рассмотрим три случая: 1)
2)
3)
В первом случае
.Во втором случае
.В третьем случае
.Найдем нормы
: 
; 
; 
.Итак,
, 
.В силу определения 1.2:
.Так как
─ ограниченная величина, то 
А значит,
. 
; 
;По определению 1.3 следует, что характеристический показатель линейной комбинации
совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых решений, то есть 
А это означает, что система (1) обладает свойством несжимаемости. Тогда по теореме 1.1 наша фундаментальная система нормальная. По следствию 1.1 вытекает, что
реализует весь спектр линейной системы. Значит, спектр системы состоит из одного числа: 
.