Старший и верхний центральный показатели линейной системы (стр. 5 из 6)

По определению 1.5 старший показатель системы (1) равен нулю, то есть

.

4.2 Вычисление верхнего центрального показателя системы

По-прежнему рассматриваем систему (1):

.

Применительно к нашей системе семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций P состоит из двух функций

и , то есть

P

,

где

Для вычисления верхнего центрального показателя

нам понадобится функция

.

Докажем, что функция

является верхней для семейства P.

Доказательство:

По определению 1.7

─ верхняя функция для семейства P, если

.

Докажем, что

.

.

Следовательно,

.

Докажем, что

.

Следовательно,

,

то есть для любого

Тогда по определению верхней функции

(P) .

Вычислим

.

По определению 1.6 верхнего среднего значения функции

Для всякого

найдется такое , что

.

Тогда

.

Вычислим отдельно

.

Итак,

.

Оценим сверху

.

. (*)

Учитывая (*) и оценивая

сверху, получаем

.

Тогда (при

)

,

то есть

.

Оценивая

снизу, получаем

,

где

.

Тогда

,

то есть

.

Следовательно,

.

Теперь изобразим функции

, и на графике.

График функции

:

График функции

:

Очевидно, что на отрезках

,

а на отрезках

для любого .

Теперь покажем, что верхний центральный показатель

совпадает с , то есть

.

Докажем следующим образом:

1.Введем функцию

.

Разобьем ось

на промежутки точками

Используя определение 1.12, положим

если

Оценим

.

Возможны три случая:

1) если

, то ; значит,

.

2) если

, то ; значит,

.

2) если

, то ; значит,

.

Таким образом,

.

2.Докажем, что

.

Очевидно, что

─ функция ограниченная и

.

Отсюда следует, что

,

то есть

,

Так как

,

то

.

3.Докажем, что

для любого .